Serie

[16chicca901]

mi aiutate con questa serie


\$\sum_{n=2}^+infty (1/(sqrt(n+1)log((n^2-3)/(n^2+n))\$

mi aiutate a studiare il comportamento?

[Oiram92]

$ sum_{n=2}^(+oo) 1/(sqrt(n+1)log((n^2-3)/(n^2+n)) $

Controlliamo se può convergere :

$ lim_(n->+oo) 1/(sqrt(n+1)log((n^2-3)/(n^2+n))) = lim_(n->+oo) 1/(sqrt(n+1)log(1+((1-n)/(n^2+n)))) $

Adesso usiamo un limite notevole :

$lim_(n->+oo) 1/(sqrt(n+1)log(1+((1-n)/(n^2+n)))) = lim_(n->+oo) 1/(sqrt(n+1)(log(1+((1-n)/(n^2+n))))/((1-n)/(n^2+n)) * (1-n)/(n^2+n) $

Quindi :

$ lim_(n->+oo) 1/(sqrt(n+1)(log(1+((1-n)/(n^2+n))))/((1-n)/(n^2+n)) * (1-n)/(n^2+n)) = lim_(n->+oo) 1/(sqrt(n+1) * (1-n)/(n^2+n)) $

Svolgendo i calcoli :
$ lim_(n->+oo) 1/(sqrt(n+1) * (1-n)/(n^2+n)) = lim_(n->+oo) (n^2+n)/(sqrt(n+1) * (1-n)) = lim_(n->+oo) (n(n+1))/((n+1)^(1/2) * (1-n)) $

$ lim_(n->+oo) (n(n+1))/((n+1)^(1/2) * (1-n)) = lim_(n->+oo) (n(n+1)^(1/2))/((1-n)) = lim_(n->+oo) (n(n+1)^(1/2))/(n((1/n)-1)) $

$ lim_(n->+oo) (n(n+1)^(1/2))/(n((1/n)-1)) = lim_(n->+oo) ((n+1)^(1/2))/(((1/n)-1)) = -oo $

Quindi la serie non rispetta la condizione necessaria per la convergenza e dunque diverge.

Scusa se è un pò incasinato ma il limite era abbastanza complicato e per non sbagliare ho voluto fare tutti i passaggi (anche quelli che si potevano fare più velocemente.

[16chicca901]

grazie mille