Serie

[xnikkox]

Salve, c'è qualcuno che mi può dare delucidazioni su questa serie ?
(Mi hanno detto che è facile , lo so, infatti me ne vergogno un po')

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\{-1^{(n)}}\frac{e^{(-2nx)}}{n!}$

So che è una serie a segno alterno , data la presenza di ${-1^(n)}$
E quindi devo studiare la serie dei valori assoluti di $a_n$
Ma qua mi blocco.. Teoricamente so che dovrei applicare il rapporto e vedere per quali x diverge o converge , e dato n! dovrebbe sicuramente convergere, ma non so proprio che fare, faccio davvero schifo a livello pratico..
Ma se facessi il rapporto avrei ciò: $\frac{1}{{e^(2x)}(n+1)}$ ( per $x>=0$ converge? ) e come posso continuare?

Grazie anticipatamente e per la formula

[Noisemaker]

"Nicc0s":Salve, c'è qualcuno che mi può dare delucidazioni su questa serie ?
(Mi hanno detto che è facile , lo so, infatti me ne vergogno un po')

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{e^{(-2nx)}}{n!} $

So che è una serie a segno alterno , data la presenza di $(-1)^n$
E quindi devo studiare la serie dei valori assoluti di $a_n $
Ma qua mi blocco.. Teoricamente so che dovrei applicare il rapporto e vedere per quali x diverge o converge , e dato n! dovrebbe sicuramente convergere, ma non so proprio che fare, faccio davvero schifo a livello pratico..
Ma se facessi il rapporto avrei ciò: $\frac{1}{{e^(2x)}(n+1)} $ ( per $x>=0 $ converge? ) e come posso continuare?

Grazie anticipatamente
(Non ho mai utilizzato linguaggi informatici , se qualcuno mi spiegasse come modificare questo obbrobrio per renderlo visibile gliene sarei grato: Ho cercato per 30 minuti di modificarlo, ma niente..)

[ELWOOD1]

per modificare l'obrobrio dovresti togliere il sombolo \ dall'inizio e dalla fine della formula.

[chisigma]

Un piccolo suggerimento : ponendo $e^{- 2 x}=\xi$ la serie diviene $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\ \frac{\xi^{n}}{n!}$ che e' piu' facile da affrontare...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[xnikkox]

"chisigma":Un piccolo suggerimento : ponendo $e^{- 2 x}=\xi$ la serie diviene $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\ \frac{\xi^{n}}{n!}$ che e' piu' facile da affrontare...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

ma in questo caso non sparirebbero le x che devo studiare ?

[chisigma]

"Nicc0s":[quote="chisigma"]Un piccolo suggerimento : ponendo $e^{- 2 x}=\xi$ la serie diviene $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\ \frac{\xi^{n}}{n!}$ che e' piu' facile da affrontare...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

ma in questo caso non sparirebbero le x che devo studiare ?[/quote]

Direi proprio di no!... usando il criterio del rapporto e' agevole dimostrare che la serie $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\xi^{n}}{n!}$ converge per ogni valore [reale o complesso...] di $\xi$ e quindi per ogni valore di x... in particolare e'...

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\xi^{n}}{n!} = e^{- \xi}$ (1)

... per cui...

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{e^{-2 n x}}{n!} = e^{- e^{- 2 x}}$ (2)

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$