Serie
Considerando la serie sommatoria $ arctang((-1)^(3n+2))/(3n+2) $ pur essendo a segni alterni ed infinitesima credo non sia decrescente, ma che criterio si può applicare ?
Risposte
cos'è quella $g$, un errore? la serie è questa?
\begin{align}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\arctan\left( (-1)^{3n+2}\right)}{3n+2}\end{align}
in tal caso osserva che il termine generale è infinitesimo, ma di ordine uno... e quindi ...
\begin{align}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\arctan\left( (-1)^{3n+2}\right)}{3n+2}\end{align}
in tal caso osserva che il termine generale è infinitesimo, ma di ordine uno... e quindi ...
Hai provato a calcolare esplicitamente \(\arctan ((-1)^{3n+2})\)?
Un pò più interessante,forse,sarebbe se la serie fosse $sum_(n=1)^(+oo)"arctg"((-1)^n)/(3n+2)$ 
..
Saluti dal web.
..Saluti dal web.
@ theras: Sicuramente...
In effetti è $ arctan((-1)^(2n+3)/(2n+3))$ , a cui ho applicato il criterio di Libneitz, infatti mi sembra presa in valore assoluto infntesima inotre la funzione arct è crescente ed essendo decrescente la successione delle frazioni, la successione dei termini generali è decrescente, quindi è convergente.
non è una serie di a segni alterni, ma a segni definitivamente negativi, come puoi osservare considerando che $2n+3$ è un numero dispari, e quindi $(-1)^{2n+3}$ non sarà mai positivo quidi la puoi trattare come una serie a termini positivi e considerare, se quell'esponente di da fastidio, la serie
\begin{align}\sum_{n=1}^{+\infty}\arctan\frac{1}{3n+2}\end{align}
quidi la puoi trattare come una serie a termini positivi e considerare, se quell'esponente di da fastidio, la serie\begin{align}\sum_{n=1}^{+\infty}\arctan\frac{1}{3n+2}\end{align}
Quindi studio se è convergente la serie dei valori assoluti e come posso studiare tale serie, la devo forse confrontare con qualche altra , ma c'è arctang ?
@Marie.
Se la tua serie è quella che avevo intuito io,
ti basta osservare che l'arcotangente,essendo per definizione la funzione inversa d'una restrizione crescente
(quella di $f(x)="tg"x:RR setminus bigcup_(k in ZZ){(2k+1)pi/2} to RR$ all'intervallo $(-pi/2,pi/2)$..),
è essa stessa crescente:
a quel punto,notato che $"arctg"((-1)^(3n+2))/(3n+2)=(-1)^n"arctg"1/(3n+2)$ $AA n in NN$,
puoi concludere grazie al criterio di Liebnitz..
Saluti dal web.
P.S.In altre parole,ora che ci faccio caso,avevi visto bene in un tuo precedente post di questo thread,
ma s'è incasinato tutto per una piccola distrazione nel digitare:
poco male,perché a questo punto puoi migliorare la tua visuale con la serie della quale stai discutendo
(ma occhio,che mi pare tu l'abbia presa dal lato sbagliato dell'assoluta convergenza,
e sopratutto ricorda il teorema ponte tra limiti di funzioni e di successioni ed il fatto che $EE lim_(x to 0) ("tg"t)/t=1 rArr EE lim_(x to 0)("arctg"t)/t=..=1/1=1$..)
con Noise !
Se la tua serie è quella che avevo intuito io,
ti basta osservare che l'arcotangente,essendo per definizione la funzione inversa d'una restrizione crescente
(quella di $f(x)="tg"x:RR setminus bigcup_(k in ZZ){(2k+1)pi/2} to RR$ all'intervallo $(-pi/2,pi/2)$..),
è essa stessa crescente:
a quel punto,notato che $"arctg"((-1)^(3n+2))/(3n+2)=(-1)^n"arctg"1/(3n+2)$ $AA n in NN$,
puoi concludere grazie al criterio di Liebnitz..
Saluti dal web.
P.S.In altre parole,ora che ci faccio caso,avevi visto bene in un tuo precedente post di questo thread,
ma s'è incasinato tutto per una piccola distrazione nel digitare:
poco male,perché a questo punto puoi migliorare la tua visuale con la serie della quale stai discutendo
(ma occhio,che mi pare tu l'abbia presa dal lato sbagliato dell'assoluta convergenza,
e sopratutto ricorda il teorema ponte tra limiti di funzioni e di successioni ed il fatto che $EE lim_(x to 0) ("tg"t)/t=1 rArr EE lim_(x to 0)("arctg"t)/t=..=1/1=1$..)
con Noise
!
"maria60":
Quindi studio se è convergente la serie dei valori assoluti e come posso studiare tale serie, la devo forse confrontare con qualche altra , ma c'è arctang ?
in realtà, avendo una serie a segni negativi, non è necessario studiare la convergenza assoluta, poichè tutti i criteri che conosci per le serie a termini positivi, valgono in generale per le serie di segno cosatante, cioè o con termine generale sempre positivo o con termine generale sempre negativo; l'unica accortezza, ai fini del risultato, è quella di dire, se la serie dovesse risultare divergente, che diverge negativamente
(è un dettaglio... )
Nel mio caso si tratta di una serie a termini negativi e quindi devo applicare un criterio di convergenza, quale?
confronto asintotico
Sto cercando di confrontare con qualche serie ma non trovo niente
non è che devi andare a cercare chissà dove , basta osservare che il termine generale della serie, quando $n\to+\infty$ si comporta asintoticamente come
\begin{align} \arctan\frac{1}{3n+2}\sim\frac{1}{3n+2}\sim\frac{1}{3n }\to\mbox{diverge}\end{align}
dunque per confronto asintotico con la serie armonica, anche la serie di partenza divergerà
, basta osservare che il termine generale della serie, quando $n\to+\infty$ si comporta asintoticamente come \begin{align} \arctan\frac{1}{3n+2}\sim\frac{1}{3n+2}\sim\frac{1}{3n }\to\mbox{diverge}\end{align}
dunque per confronto asintotico con la serie armonica, anche la serie di partenza divergerà
Potremmo ritornare su questa serie ? è a segni alterni o a segni negativi ? Bisogna applicare Liebnitz ?
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