Serie
Per studiare la serie di termine generale $(((an +2))/(3n+1))^(n+1)$, ho applicato il criterio del rapporto ma non sono riuscita a stabilire il valore del limite.....infatti per $ a=3 $,il limite vale 1, quindi come stabilisco il carattere ?
Risposte
devi stabilirlo proprio in base alla variazione del parametro $a$ che immagino sia appartenente ai numeri reali positivi, cioè $a\in\RR^+;$ allora applicando diversamente il criterio della radice hai
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{an+2}{3n+1}\right)^{n+1}&\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{an+2}{3n+1}\right)^{n+1}}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{an+2}{3n+1}\right)^{n }}\cdot \sqrt[n]{\left(\frac{an+2}{3n+1}\right) }\\
& =\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{an+2}{3n+1}\right) \cdot \frac{\sqrt[n]{an}}{\sqrt[n]{3n}} =\frac{a}{3}\to\mbox{converge se }\frac{a}{3}<1,a<3
\end{align}
quindi puoi concludere che la serie convrge se $03$ mentre se $a=3$ il criterio applicato è inefficacie; allora devi vedere cosa succede per $a=3$: sostituendo nella serie il valore tre ottemiamo:
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{3n+2}{3n+1}\right)^{n+1},\qquad a\in\mathbb{R}
\end{align}
e considerando il limite del termine generale abbiamo che:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{3n+2}{3n+1}\right)^{n+1}&= \lim_{n\to+\infty} e^{\displaystyle(n+1)\ln\left(\frac{3n+2}{3n+1}\right)}\sim\lim_{n\to+\infty} e^{\displaystyle(n+1) \left(\frac{3n+2}{3n+1}-1\right)}\\\
&=\lim_{n\to+\infty} e^{\displaystyle(n+1) \left(\frac{1}{3n+1} \right)}=e^{1/3}
\end{align}
e dunque non essendo infinitesimo il termine generale, la serie per $a=3$ non converge.
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{an+2}{3n+1}\right)^{n+1}&\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{an+2}{3n+1}\right)^{n+1}}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{an+2}{3n+1}\right)^{n }}\cdot \sqrt[n]{\left(\frac{an+2}{3n+1}\right) }\\
& =\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{an+2}{3n+1}\right) \cdot \frac{\sqrt[n]{an}}{\sqrt[n]{3n}} =\frac{a}{3}\to\mbox{converge se }\frac{a}{3}<1,a<3
\end{align}
quindi puoi concludere che la serie convrge se $0
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{3n+2}{3n+1}\right)^{n+1},\qquad a\in\mathbb{R}
\end{align}
e considerando il limite del termine generale abbiamo che:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{3n+2}{3n+1}\right)^{n+1}&= \lim_{n\to+\infty} e^{\displaystyle(n+1)\ln\left(\frac{3n+2}{3n+1}\right)}\sim\lim_{n\to+\infty} e^{\displaystyle(n+1) \left(\frac{3n+2}{3n+1}-1\right)}\\\
&=\lim_{n\to+\infty} e^{\displaystyle(n+1) \left(\frac{1}{3n+1} \right)}=e^{1/3}
\end{align}
e dunque non essendo infinitesimo il termine generale, la serie per $a=3$ non converge.
perchè hai sostituito $ ln((3n+2)/(3n+1)) $ con $ ((3n+2)/(3n+1)-1) $ ?
\begin{align} \ln\left(\frac{3n+2}{3n+1}\right) \sim \left(\frac{3n+2}{3n+1}-1\right) \end{align}
è la stima asintotica del logaritmo: in generale hai che
\begin{align} \mbox{se per }\,\,\,x\to x_0 &\qquad f(x)\sim g(x)\,\,\,\mbox{e}\,\,\,f(x)\to 0^+\,\,\,\mbox{oppure}\,\,\,f(x)\to +\infty\\
&\Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim \ln g(x)\\\\
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}
è la stima asintotica del logaritmo: in generale hai che
\begin{align} \mbox{se per }\,\,\,x\to x_0 &\qquad f(x)\sim g(x)\,\,\,\mbox{e}\,\,\,f(x)\to 0^+\,\,\,\mbox{oppure}\,\,\,f(x)\to +\infty\\
&\Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim \ln g(x)\\\\
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}
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