Serie
$\sum_{n=1}^(+oo) (((-1)^n 2^(n/2))/n^2) sen^n x\ $
devo determinare l'insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
essendo una serie con termini di segno nn costante utilizzo il criterio di lebniz, quindi devo stabilire
$ (2^(n/2))/n^2) sen^n x>=0$
quindi per $[0,\pi\]$?
devo determinare l'insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
essendo una serie con termini di segno nn costante utilizzo il criterio di lebniz, quindi devo stabilire
$ (2^(n/2))/n^2) sen^n x>=0$
quindi per $[0,\pi\]$?
Risposte
per applicare Leibniz, devi vedere le ipotesi sono verificate, cioè termine generale infinitesimo e decrescente. D'altra parte considerando la convergenza assoluta avresti:
\[ \left|\frac{2^{n/2}}{n^2}\cdot \left(\sin x\right)^n\right|= \frac{2^{n/2}}{n^2}\cdot \left|\sin x\right|^n\]
a questo punto sei difronte ad una seire a termini positivi, a cui puoi applicare tutti i criteri validi per tali serie, ad esempio la radice...
\[ \left|\frac{2^{n/2}}{n^2}\cdot \left(\sin x\right)^n\right|= \frac{2^{n/2}}{n^2}\cdot \left|\sin x\right|^n\]
a questo punto sei difronte ad una seire a termini positivi, a cui puoi applicare tutti i criteri validi per tali serie, ad esempio la radice...
Noisemaker:
per applicare Leibniz, devi vedere le ipotesi sono verificate, cioè termine generale infinitesimo e decrescente. D'altra parte considerando la convergenza assoluta avresti:
\[ \left|\frac{2^{n/2}}{n^2}\cdot \left(\sin x\right)^n\right|= \frac{2^{n/2}}{n^2}\cdot \left|\sin x\right|^n\]
a questo punto sei difronte ad una seire a termini positivi, a cui puoi applicare tutti i criteri validi per tali serie, ad esempio la radice...
ma in questo modo nn vai a trascurare il termine $(-1)^n$?
stai studiando la convergenza assoluta, quindi se convergerà assolutamente convergerà semplicemente
Noisemaker:
stai studiando la convergenza assoluta, quindi se convergerà assolutamente convergerà semplicemente
quindi applicando il criterio della radice...
$lim_(n->+oo)(((2^(n/2))/(n^2))(|sen x|^n))^(1/n)=lim_(n->+oo)(2^(1/2))/(n^(2/n))(|sen x|)=2^(1/2)(|sen x|)$
quindi la serie sarà convergente per $sen x<1/(2^(1/2))$
più precisamente se \[|\sin x|<\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Noisemaker:
più precisamente se \[|\sin x|<\frac{\sqrt{2}}{2} \]
nn ho capito cosa hai scritto
ho solo razionalizzato...per mettere in evidenza un valore notevole del seno...
Noisemaker:
ho solo razionalizzato...per mettere in evidenza un valore notevole del seno...
ma come ho fatto io ho sbagliato?
e si manca il valore assoluto, poi in valore numerico puoi anche lasciarlo scritto che l'hai scritto tu
Noisemaker:
e si manca il valore assoluto, poi in valore numerico puoi anche lasciarlo scritto che l'hai scritto tu
ok grazie
...ora quando mi dice che $f(x)=\sum_{n=1}^(+oo) (((-1)^n 2^(n/2))/n^2) sen^n x\ $ e mi chiede di determinare $f'(x)$....cosa devo calcolare la derivata?
si, ed essendo una serie di potenze, puoi derivare termine a termine senza problemi
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