Seria al variare di un parametro

[matteo333]

$ sum_(n = 1)^(oo ) 1/(3^(an)+n^4) $
Devo studiare questa serie al variare di a:
Io considero $a>0$:
$ sum_(n = 1)^(oo ) 1/(3^(n)+n^4) $

$ lim_( n -> oo )1/(3^(n)+n^4)=0 $ quindi converge
Io considero $a=0$:
$ sum_(n = 1)^(oo ) 1/(1+n^4) $

$ lim_( n -> oo )1/(1+n^4)=0 $ quindi converge
Io considero $a<0$:
$ sum_(n = 1)^(oo ) 1/(3^(-n)+n^4) $

$ lim_( n -> oo )1/(3^(-n)+n^4)=1/((1/(3^n)+n^4)=0 $ quindi converge

non so se è giusto, c'è qualcuno che gentilmente mi può dire se ho ragionato in maniera corretta

[gugo82]

Come sai la condizione [tex]$\lim_n a_n =0$[/tex] è solo necessaria alla convergenza di [tex]\sum a_n[/tex], quindi il tuo ragionamento è solo parziale.
Insomma hai dimostrato che la serie [tex]\sum \frac{1}{3^{an}+n^4}[/tex] potrebbe convergere per ogni [tex]$a\in \mathbb{R}$[/tex], ma non hai affatto mostrato che essa effettivamente converge.

[matteo333]

quindi dovrei usare i criteri?grazie

[matteo333]

Per $a>0$, ho usato il criterio del rapporto:

$lim_( n -> oo )(3^n+n^4)/(3^(n+1)+(n+1)^4)=(3^n(1+(n^4/3^n)))/(3^n(3+((n+1)^4/(3^n))))=1/3<1$ quindi converge

Per $a<0$, ho usato il criterio del rapporto:

$lim_( n -> oo )(1+(3^n)(n^4))/(1+3(3^n)(1+n)^4)=1/3<1$ quindi converge

Per $a=0$, ho usato il criterio del confronto:

$1/(1+n^4)<1/n^4$ $1/n^4$ converge perchè $4>1$

quindi la setrie iniziale converge per ogni valore di a, è giusto?Oppure nel dimostrare la convergenza ho fatto qualche errore? grazie mille