Separazione variabili di ODE
Salve. Ho la seguente equazione: $xdy-ydx=ydy$ (e altre che richiedono artifizi simili) e non riesco a riscriverla in una forma che mi permetta di separarne le variabili. Come mi suggerite di procedere?
Sono arrivato fino a $dy=ydx/(x-y)$ e da qui non riesco ad andare avanti. Grazie mille.
Sono arrivato fino a $dy=ydx/(x-y)$ e da qui non riesco ad andare avanti. Grazie mille.
Risposte
Scritte in questo modo, le EDO fanno davvero un po' senso...
Ad ogni modo, riscrivendo l'equazione in forma normale:
\[
y^\prime (x) = \frac{y(x)}{x-y(x)}
\]
ci si accorge che essa ha il secondo membro omogeneo di grado \(0\); pertanto la sostituzione:
\[
y(x) = x\ u(x)
\]
la riconduce a variabili separabili.
Ad ogni modo, riscrivendo l'equazione in forma normale:
\[
y^\prime (x) = \frac{y(x)}{x-y(x)}
\]
ci si accorge che essa ha il secondo membro omogeneo di grado \(0\); pertanto la sostituzione:
\[
y(x) = x\ u(x)
\]
la riconduce a variabili separabili.
L'esercizio è stato dato in questa forma, non ci posso fare niente.
Quale è l'espressione corretta di $y'$ secondo la sostituzione? Purtroppo non mi è chiaro come possa essere ricondotta a variabili separate...
Quale è l'espressione corretta di $y'$ secondo la sostituzione? Purtroppo non mi è chiaro come possa essere ricondotta a variabili separate...
"Vikhr":
L'esercizio è stato dato in questa forma, non ci posso fare niente.
Di solito, sono i vecchi eserciziari di stampo anglosassone a riportare le EDO in quella forma.
"Vikhr":
Quale è l'espressione corretta di $y'$ secondo la sostituzione? Purtroppo non mi è chiaro come possa essere ricondotta a variabili separate...
Hai provato a fare qualche conto?
Cosa hai trovato?
I conti li ho fatti, il problema è se sono corretti o meno.
Ho derivato l'espressione di sostituzione considerando sia $u(x)$ che $x$ variabili, ottenendo alla fine $x'u(x)+xu'(x)=(u(x))/(1-(u(x))$.
Il mio problema è superare questa benedetta materia, così posso ritornare a fare quello che volevo fare prima, chimica (magari meglio, con più strumenti che nel frattempo ho sicuramente fatto miei grazie a questi sforzi). Sto proprio andando contro ogni mio limite.
Ho derivato l'espressione di sostituzione considerando sia $u(x)$ che $x$ variabili, ottenendo alla fine $x'u(x)+xu'(x)=(u(x))/(1-(u(x))$.
Il mio problema è superare questa benedetta materia, così posso ritornare a fare quello che volevo fare prima, chimica (magari meglio, con più strumenti che nel frattempo ho sicuramente fatto miei grazie a questi sforzi). Sto proprio andando contro ogni mio limite.
Beh, sì, sono corretti... Ma \(x^\prime\) quanto fa, esplicitamente? 
P.S.: Da dove stai prendendo gli esercizi?
P.S.: Da dove stai prendendo gli esercizi?
1, no?
Comunque mi rimetto al lavoro domani, sono esausto.
Gli esercizi li prendo da fotocopie che mi ha dato il docente avendo seguito tutte le lezioni.
Grazie mille
, anche se per ora dovesse andare male
Comunque mi rimetto al lavoro domani, sono esausto.
Gli esercizi li prendo da fotocopie che mi ha dato il docente avendo seguito tutte le lezioni.
Grazie mille
, anche se per ora dovesse andare male
"Vikhr":
1, no?
Certo, quindi la EDO:
"Vikhr":
$x'u(x)+xu'(x)=(u(x))/(1-(u(x))$
diventa:
\[
x\ u^\prime (x) + u(x) = \frac{u(x)}{1-u(x)}
\]
che, fatta un po' di algebra, è a variabili separabili.
Ho fatto l'algebra e sono pervenuto alla forma a variabili separate $1/x=u'[(1-u)/(u^2)]$, al che ho integrato ambo i membri giungendo a $ln|x|=-1/u-ln|u|$. Assumendo x e u positivi giungo a $ln y=-x/y$ e da qui purtoppo non riesco più ad andare avanti perché vorrei ricavare y e derivarlo e verificare l'equazione ma non ci riesco.
Gugo82, l'EDO in oggetto ammette integrale generale della forma $yc=-x-ylny$? Grazie mille.
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