Separazione variabili

[20021991]

Salve, ho un problema con questo esercizio. Premetto che ho la risoluzione ma non non capisco alcuni passaggi:






Per la risoluzione con il metodo della separazione delle variabili cerco soluzioni del tipo u=X(x)Y(y) per cui il problema si scinde in due equazioni ordinarie. Ma perché la risoluzione parte con la risoluzione di $ Y''- lambda Y = 0 $ e non con l'altra, $X'' + lambda X =0 $ ? C'è un motivo? Dipende dalle condizioni?

[Rigel1]

In linea di massima non c'è differenza, la scelta più opportuna dipende dalle condizioni al bordo.
In questo caso, per la \(Y\), hai che \(Y(0)=Y(4) = 0\), il che rende un po' più semplice il calcolo delle soluzioni esplicite.

[20021991]

Ah ok, grazie per aver risposto. Avrei un'altra domanda. Valutando il segno di $ lambda $ (maggiore, minore o uguale a zero) suppongo che l'esercizio giunga al calcolo dell'autovalore e dell'autofunzione della Y, così come scritto nell'immagine che ho postato.

Subito dopo aver fatto cioè cosa faccio? Considero la seconda equazione $X'' + lambda X=0 $ ...e? Lì dice "si trovano allora le funzioni X(t)=... ma che passaggi fa? Con le mie nozioni di teoria non riesco a capirlo

[Rigel1]

"20021991":Considero la seconda equazione $X'' + lambda X=0 $ ...e?

...e la risolvo! E' un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti (esattamente come quella per \(Y\)). Qui sai già che \(\lambda\) può assumere solo uno dei valori determinati prima (quindi, in particolare, è negativo).

[20021991]

Praticamente risolvo $ X'' - k^2 pi^2/16 X = 0 $?

[Rigel1]

Esatto. (E' quello che c'è scritto nel testo quando si dice che la (4) va risolta per \(\lambda = \lambda_k\).)