Separazione delle variabili eq. alle derivate parziali
Buonsalve.
Sono un pò di giorni che sbatto nella separazione delle variabili della nota equazione di Schrodinger in 1D:
$i \barh d/dt \psi(x,t) = - \barh/(2m) d^2/dx^2 \psi(x,t) + V(x) \psi(x,t)$
con V (potenziale) nullo si ha:
$i \barh d/dt \psi(x,t) = - \barh/(2m) d^2/dx^2 \psi(x,t)$ (1)
sugli appunti dice: ''per riscalamento' si ottiene:
$i d/dt \psi(x,t) = - d^2/dx^2 \psi(x,t)$
ha tolto le costanti, questo s'intende per riscalamento?
detto questo, vorrei trovare le soluzioni stazionarie mediante separazione delle variabili $\psi(x,t) = T(t) X(x)$
Propongo la mia risoluzione, per (1) , sostituiamo $\psi(x,t) = T(t) X(x)$:
$i \barh d/dt (X T) = - \barh/(2m) d^2/dx^2 (X T)$
$i \barh X d/dt T = - \barh/(2m) T d^2/dx^2 X$
dividendo ambo i membri per XT ottengo:
$i \barh 1/T d/dt T = - \barh/(2m) 1/X d^2/dx^2 X$
ora eguaglio entrambi i membri ad una costante:
$lambda =i \barh 1/T d/dt T = - \barh/(2m) 1/X d^2/dx^2 X = lambda$
$lambda =i \barh 1/T d/dt T$ si ottiene: $T(t) = T(0) e^-(i lambda/\barh t)$
$- \barh/(2m) 1/X d^2/dx^2 X = lambda$
da cui: $X'' + \alpha X = 0$ con $alpha= - lambda 2 m/\barh^2$
con la soluzione: $X(x) = A sin (sqrt(alpha) x) + B cos (sqrt(alpha) x)$
se tutto questo è giusto, io chiedo:
il $T(0)$ come lo trovo? Può essere una funzione del tipo: $1 - x^2 = \psi(x,0)$ ? cioè a $t=0$?
A e B sono delle costanti e credo si trovino mediante condizioni al bordo....
come vi pare?
Sono un pò di giorni che sbatto nella separazione delle variabili della nota equazione di Schrodinger in 1D:
$i \barh d/dt \psi(x,t) = - \barh/(2m) d^2/dx^2 \psi(x,t) + V(x) \psi(x,t)$
con V (potenziale) nullo si ha:
$i \barh d/dt \psi(x,t) = - \barh/(2m) d^2/dx^2 \psi(x,t)$ (1)
sugli appunti dice: ''per riscalamento' si ottiene:
$i d/dt \psi(x,t) = - d^2/dx^2 \psi(x,t)$
ha tolto le costanti, questo s'intende per riscalamento?
detto questo, vorrei trovare le soluzioni stazionarie mediante separazione delle variabili $\psi(x,t) = T(t) X(x)$
Propongo la mia risoluzione, per (1) , sostituiamo $\psi(x,t) = T(t) X(x)$:
$i \barh d/dt (X T) = - \barh/(2m) d^2/dx^2 (X T)$
$i \barh X d/dt T = - \barh/(2m) T d^2/dx^2 X$
dividendo ambo i membri per XT ottengo:
$i \barh 1/T d/dt T = - \barh/(2m) 1/X d^2/dx^2 X$
ora eguaglio entrambi i membri ad una costante:
$lambda =i \barh 1/T d/dt T = - \barh/(2m) 1/X d^2/dx^2 X = lambda$
$lambda =i \barh 1/T d/dt T$ si ottiene: $T(t) = T(0) e^-(i lambda/\barh t)$
$- \barh/(2m) 1/X d^2/dx^2 X = lambda$
da cui: $X'' + \alpha X = 0$ con $alpha= - lambda 2 m/\barh^2$
con la soluzione: $X(x) = A sin (sqrt(alpha) x) + B cos (sqrt(alpha) x)$
se tutto questo è giusto, io chiedo:
il $T(0)$ come lo trovo? Può essere una funzione del tipo: $1 - x^2 = \psi(x,0)$ ? cioè a $t=0$?
A e B sono delle costanti e credo si trovino mediante condizioni al bordo....
come vi pare?
Risposte
Per riscalamento di un'equazione si intende la sostituzione della funzione incognita con un'altra, in cui le variabili appaiono mediate da opportune costanti di proporzionalità, in modo da eliminare "inutili" costanti numeriche (che possono nascondere le "vere" proprietà strutturali dell'equazione).
In particolare, nella tua equazione di Schroedinger:
\[
\imath\ \hbar\ \frac{\partial }{\partial t} \psi(x,t) = - \frac{\hbar}{2m}\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi (x,t)
\]
vuoi puntare ad eliminare tutte le costanti che potrebbero nascondere le proprietà strutturali della PDE.
Come detto, la tecnica per fare ciò consiste nell'introdurre una nuova funzione incognita \(\phi(y,s)\) definita ponendo:
\[
\psi (x,t) = \phi \left( \alpha x, \beta t\right)
\]
in cui \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \) sono coefficienti non nulli da determinare in modo da "uccidere" le costanti "inutili" presenti nella PDE.
Dato che:
\[
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial t}\psi (x,t) &= \frac{\partial}{\partial t} \phi ( \alpha x, \beta t)\\
&=\beta\ \frac{\partial}{\partial s} \phi ( \alpha x, \beta t)
\end{split}
\]
e:
\[
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial x}\psi (x,t) &= \frac{\partial}{\partial x} \phi ( \alpha x, \beta t)\\
&=\alpha\ \frac{\partial}{\partial y} \phi ( \alpha x, \beta t) \quad \Rightarrow\\
\Rightarrow\quad \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi (x,t) &= \frac{\partial}{\partial x} \left[\frac{\partial}{\partial x} \psi ( x, t)\right]\\
&=\alpha\ \frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{\partial}{\partial y} \phi ( \alpha x, \beta t)\right]\\
&= \alpha^2\ \frac{\partial^2}{\partial y^2} \phi ( \alpha x, \beta t)
\end{split}
\]
l'equazione di Schroedinger si trasforma in:
\[
\imath\ \hbar\ \beta\ \frac{\partial}{\partial s} \phi ( y, s) = - \frac{\hbar}{2m}\ \alpha^2\ \frac{\partial^2}{\partial y^2}\phi (y,s)\; .
\]
sicché, per eliminare le costanti "inutili", basta prendere \(\alpha = \sqrt{\frac{2m}{\hbar}}\) e \(\beta = \frac{1}{\hbar}\).
Con tale scelta dei coefficienti e scegliendo di chiamare di nuovo \(x,t\) le variabili e \(\psi\) l'incognita, l'equazione di Schroedinger riscalata diventa proprio:
\[
\imath\ \frac{\partial}{\partial t} \psi ( x, t) = - \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi (x,t)\; .
\]
A margine, noto che effettuare un riscalamento in una PDE della Fisica Matematica equivale a scegliere le unità di misura delle quantità in gioco in modo che i coefficienti dell'equazione diventino unitari.
In particolare, nella tua equazione di Schroedinger:
\[
\imath\ \hbar\ \frac{\partial }{\partial t} \psi(x,t) = - \frac{\hbar}{2m}\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi (x,t)
\]
vuoi puntare ad eliminare tutte le costanti che potrebbero nascondere le proprietà strutturali della PDE.
Come detto, la tecnica per fare ciò consiste nell'introdurre una nuova funzione incognita \(\phi(y,s)\) definita ponendo:
\[
\psi (x,t) = \phi \left( \alpha x, \beta t\right)
\]
in cui \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \) sono coefficienti non nulli da determinare in modo da "uccidere" le costanti "inutili" presenti nella PDE.
Dato che:
\[
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial t}\psi (x,t) &= \frac{\partial}{\partial t} \phi ( \alpha x, \beta t)\\
&=\beta\ \frac{\partial}{\partial s} \phi ( \alpha x, \beta t)
\end{split}
\]
e:
\[
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial x}\psi (x,t) &= \frac{\partial}{\partial x} \phi ( \alpha x, \beta t)\\
&=\alpha\ \frac{\partial}{\partial y} \phi ( \alpha x, \beta t) \quad \Rightarrow\\
\Rightarrow\quad \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi (x,t) &= \frac{\partial}{\partial x} \left[\frac{\partial}{\partial x} \psi ( x, t)\right]\\
&=\alpha\ \frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{\partial}{\partial y} \phi ( \alpha x, \beta t)\right]\\
&= \alpha^2\ \frac{\partial^2}{\partial y^2} \phi ( \alpha x, \beta t)
\end{split}
\]
l'equazione di Schroedinger si trasforma in:
\[
\imath\ \hbar\ \beta\ \frac{\partial}{\partial s} \phi ( y, s) = - \frac{\hbar}{2m}\ \alpha^2\ \frac{\partial^2}{\partial y^2}\phi (y,s)\; .
\]
sicché, per eliminare le costanti "inutili", basta prendere \(\alpha = \sqrt{\frac{2m}{\hbar}}\) e \(\beta = \frac{1}{\hbar}\).
Con tale scelta dei coefficienti e scegliendo di chiamare di nuovo \(x,t\) le variabili e \(\psi\) l'incognita, l'equazione di Schroedinger riscalata diventa proprio:
\[
\imath\ \frac{\partial}{\partial t} \psi ( x, t) = - \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi (x,t)\; .
\]
A margine, noto che effettuare un riscalamento in una PDE della Fisica Matematica equivale a scegliere le unità di misura delle quantità in gioco in modo che i coefficienti dell'equazione diventino unitari.
"gugo82":
A margine, noto che effettuare un riscalamento in una PDE della Fisica Matematica equivale a scegliere le unità di misura delle quantità in gioco in modo che i coefficienti dell'equazione diventino unitari.
io nel senso che dici tu ho scelto:
$ m = 1/2 $ e $\hbar\ = 1$
per la domanda riguardo la soluzione stazionaria, io ho un problema. Quando ho le condizioni al bordo (che siano di Dirichlet o Neumann) le soluzioni sono rispettivamente:
$\psi (t, x) = sum_{n=1}^{+oo} a_n e^(i(n^2 \pi^2 t/L^2)) sin( (n \pi)/L x) $ Dirichlet
$\psi (t, x) = sum_{n=1}^{+oo} c_n e^(i(n^2 \pi^2 t/L^2)) cos( (n \pi)/L x) $ Neumann
quindi
se ho come dato iniziale : $ f(x) = \psi (x, t)$
devo trovare i coefficienti di Fourier della $f(x)$
la mia domanda è: posso arrivare allo stesso risultato mediante separazione delle variabili?
up
"ludwigZero":
Buonsalve.
Sono un pò di giorni che sbatto nella separazione delle variabili della nota equazione di Schrodinger in 1D:
$i \barh d/dt \psi(x,t) = - \barh/(2m) d^2/dx^2 \psi(x,t) + V(x) \psi(x,t)$
L' \(\hbar\) a membro sinistro è di troppo. L'equazione corretta è
\[
i\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar}{2 m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}(x, t)+ V(x)\psi(x, t).\]
Comunque, scegliendo unità naturali gli \(\hbar\) e la massa \(m\) spariscono, come già notato.
Detto questo non si capisce proprio quale sia il tuo problema. A me sembra che l'esercizio sia finito. Che altro vuoi? Forse non capisci in che senso viene raggiunto il dato iniziale?
La situazione è questa:
ho un problema di cauchy:
ho una funzione $ g(x) = \psi (0,x) $ con $x \in [a,b]$ e
condizioni al bordo che possono essere o quelle di Neumann o di Dirichlet
mi si chiede di trovare la soluzione stazionaria dell'eq. $i d/dt \psi(x,t) = - d^2/dx^2 \psi(x,t) $
come si arriva al risultato? Io volevo applicare la separazione delle variabili a tale equazione, ponendo $\psi (x,t) = T(t) X(x)$ come da me proposto nel topic iniziale:
Solo che facendo alcuni esercizi, non mi trovo con la soluzione data mediante serie di fourier, ovvero:
dove $a_n$ e $c_n$ sono i coefficienti delle serie di Fourier della $g(x)$
spero che sia più chiara la mia richiesta
ho un problema di cauchy:
ho una funzione $ g(x) = \psi (0,x) $ con $x \in [a,b]$ e
condizioni al bordo che possono essere o quelle di Neumann o di Dirichlet
mi si chiede di trovare la soluzione stazionaria dell'eq. $i d/dt \psi(x,t) = - d^2/dx^2 \psi(x,t) $
come si arriva al risultato? Io volevo applicare la separazione delle variabili a tale equazione, ponendo $\psi (x,t) = T(t) X(x)$ come da me proposto nel topic iniziale:
"ludwigZero":
vorrei trovare le soluzioni stazionarie mediante separazione delle variabili $ \psi(x,t) = T(t) X(x) $
Propongo la mia risoluzione, sostituiamo $ \psi(x,t) = T(t) X(x) $:
$ i \barh d/dt (X T) = - \barh/(2m) d^2/dx^2 (X T) $
$ i \barh X d/dt T = - \barh/(2m) T d^2/dx^2 X $
dividendo ambo i membri per XT ottengo:
$ i \barh 1/T d/dt T = - \barh/(2m) 1/X d^2/dx^2 X $
ora eguaglio entrambi i membri ad una costante:
$ lambda =i \barh 1/T d/dt T = - \barh/(2m) 1/X d^2/dx^2 X = lambda $
$ lambda =i \barh 1/T d/dt T $ si ottiene: $ T(t) = T(0) e^-(i lambda/\barh t) $
$ - \barh/(2m) 1/X d^2/dx^2 X = lambda $
da cui: $ X'' + \alpha X = 0 $ con $ alpha= - lambda 2 m/\barh^2 $
con la soluzione: $ X(x) = A sin (sqrt(alpha) x) + B cos (sqrt(alpha) x) $
se tutto questo è giusto, io chiedo:
il $ T(0) $ come lo trovo? Può essere una funzione del tipo: $ g(x) = 1 - x^2 = \psi(x,0) $ ? cioè a $ t=0 $?
A e B sono delle costanti e credo si trovino mediante condizioni al bordo....
Solo che facendo alcuni esercizi, non mi trovo con la soluzione data mediante serie di fourier, ovvero:
"ludwigZero":
Quando ho le condizioni al bordo (che siano di Dirichlet o Neumann) le soluzioni dell'equazione sono rispettivamente:
$ \psi (t, x) = sum_{n=1}^{+oo} a_n e^(i(n^2 \pi^2 t/L^2)) sin( (n \pi)/L x) $ Dirichlet
$ \psi (t, x) = sum_{n=1}^{+oo} c_n e^(i(n^2 \pi^2 t/L^2)) cos( (n \pi)/L x) $ Neumann
dove $a_n$ e $c_n$ sono i coefficienti delle serie di Fourier della $g(x)$
spero che sia più chiara la mia richiesta
Mah. Soluzioni stazionarie? Le soluzioni stazionarie sono quelle che non dipendono dal tempo. E quindi sono tutte e sole le funzioni d'onda \(\psi=\psi(x)\) tali che
\[
\frac{ d^2\psi}{dx^2}(x)=0.
\]
Sei sicuro di quello che dici? Non penso sia questo il problema che devi risolvere.
\[
\frac{ d^2\psi}{dx^2}(x)=0.
\]
Sei sicuro di quello che dici? Non penso sia questo il problema che devi risolvere.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo