Separabilità per l'equazione di schrodinger

[baldo891]

Mi stavo chiedendo per quali valori dell'energia potenziale $V(x,y,z)$ la seguente equazione è separabile in coordinate cartesiane?(con questa scrittura $ddot (u(x))$ intendo la derivada seconda di $u$ rispetto $x$
$-h^2/(2m)(ddot (u(x))/(u(x))+ddot (u(y))/(u(y))+ddot (u(z))/(u(z)))+V(x,y,z)=E$ io sono riuscito a trovare $V=0$ e $V=f(x)+f(y)+f(z)$ .Questi sono ovviamente
i casi banali , Magari qualche bravo analista esperto in PDE ne riesce a trovare altri?La vedo dura

[Fox4]

Dunque, direi che hai esaurito le possibilità, perché se mi ricordo bene [tex]H[/tex] è separabile se è possibile scrivere [tex]H=H_x+H_y+H_z[/tex]
di modo che [tex]H | \psi \rangle= (H_x+H_y+H_z) \; | \psi_x \rangle \otimes | \psi_y \rangle \otimes | \psi_z \rangle= (E_x+E_y+E_z) |\psi \rangle[/tex]
dove i pedici stanno ad indicare il sottospazio di Hilbert "per singola variabile", e il passaggio intermedio lo puoi fare visto che si ASSUME che sia vera la scomposizione della funzione d'onda in prodotto di funzioni di una variabile (compatibile con l'idea che la teoria fisica si occupi di probabilità di variabili indipendenti)

Se parliamo di variabili cartesiane, la parte cinetica dell'hamiltoniana è sempre separabile,
quindi ciò che resta da richiedere è che [tex]V(X,Y,Z)=V_x(X)+V_y(Y)+V_z(Z)[/tex]

[baldo891]

grazie