Separabilità di L^2(mu) / Sigma-finitezza di mu

[dissonance]

Sia [tex](M, \mathcal{M}, \mu)[/tex] uno spazio di misura. Se [tex]\mu[/tex] è una misura [tex]\sigma[/tex]-finita allora [tex]L^2(M, \mu)[/tex] è separabile.

Che dite, vale anche il viceversa?

[Rigel1]

Trovi qualcosa su Halmos, es.(1) p. 177.

Se $S(\mu)$ è lo spazio metrico degli insiemi misurabili di misura finita munito della distanza $d(E,F) = \mu(E\Delta F)$, allora $L^p(\mu)$, $1\le p <+\infty$, è separabile se e solo se $S(\mu)$ è separabile.
In altri termini, $L^p(\mu)$ è separabile se e solo se valgono le seguenti condizioni:
1) $\mu$ è $\sigma$-finita;
2) esiste una famiglia al più numerabile di insiemi misurabili che generano tutta la $\sigma$-algebra.

[dissonance]

Ah ecco, quindi mi ero fatto una idea sbagliata. In effetti pure sul Brezis trovo scritto che $L^p(\Omega)$ è separabile se (lui tralascia il "solo se") $Omega$ è uno spazio mensurale separabile, ovvero $Omega$ verifica la proprietà che dici. Grazie Rigel!