Separabilità
Ciao!
Qualcuno mi sa spiegare come dimostrare che se il duale di un spazio X é separabile, allora X é separabile?
Come esempio che non vale il contrario su un libro ho trovato l1 (L piccolo 1) che é separabile ma che ha duale loo (L piccolo infinito) che non lo é. Come dimostro che loo non é separabile?
Non sapreste consigliarmi un libro che tratta bene l'argomanto degli spazi lp (o Lp, é uguale)?
Grazie!!
Ahimsa
Qualcuno mi sa spiegare come dimostrare che se il duale di un spazio X é separabile, allora X é separabile?
Come esempio che non vale il contrario su un libro ho trovato l1 (L piccolo 1) che é separabile ma che ha duale loo (L piccolo infinito) che non lo é. Come dimostro che loo non é separabile?
Non sapreste consigliarmi un libro che tratta bene l'argomanto degli spazi lp (o Lp, é uguale)?
Grazie!!
Ahimsa
Risposte
Un buon libro può essere ad es.
Luigi Amerio - "Analisi Matematica - con elementi di analisi funzionale" Volume terzo, metodi matematici e applicazioni
Lo spazio duale X' di uno spazio X di Banach è l'insieme della totalità dei funzionali lineari (e quindi, in questo contesto, continui) definiti su X.
X si dice separabile se esiste una successione S densa in X, cioè tale che gli elementi di X appartengano a S o siano punti di accumulazione per S.
Per provare la tesi bisogna dimostrare che esiste una successione J di funzionali densa in X'.
Non ho la dimostrazione sotto mano però credo che la chiave di tutto stia nel fatto che la cosrrispondenza tra gli elementi di X e di X' è biunivoca (oltre al fatto che X è di Banach e quindi completo...). Se esiste quindi S si potrà associare a S una S'... etc.!
Ora riparto per il mare, ciao a tutti!!!
Modificato da - goblyn il 14/08/2003 18:30:23
Modificato da - goblyn il 15/08/2003 14:25:29
Luigi Amerio - "Analisi Matematica - con elementi di analisi funzionale" Volume terzo, metodi matematici e applicazioni
Lo spazio duale X' di uno spazio X di Banach è l'insieme della totalità dei funzionali lineari (e quindi, in questo contesto, continui) definiti su X.
X si dice separabile se esiste una successione S densa in X, cioè tale che gli elementi di X appartengano a S o siano punti di accumulazione per S.
Per provare la tesi bisogna dimostrare che esiste una successione J di funzionali densa in X'.
Non ho la dimostrazione sotto mano però credo che la chiave di tutto stia nel fatto che la cosrrispondenza tra gli elementi di X e di X' è biunivoca (oltre al fatto che X è di Banach e quindi completo...). Se esiste quindi S si potrà associare a S una S'... etc.!
Ora riparto per il mare, ciao a tutti!!!
goblyn
Modificato da - goblyn il 14/08/2003 18:30:23
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