Sen(x)/x

[alberto861]

qualcuno sa dove posso trovare la dimostrazione che l'integrale da 0 a +infinito di $sen(x)/x$ è $pi/2$ so che devo prendere una mezza corona circolare intorno all'origine ma poi mi blocco con i conti!!

[Kroldar]

La funzione $sint/t$ è pari, dunque

$int_0^(+oo) sint/t dt = 1/2 int_(-oo)^(+oo) sint/t dt$

Consideriamo la funzione ausiliaria $e^(jt)/t$, che ha in $0$ un polo semplice e di cui $sint/t$ è la parte immaginaria.

L'integrale

$int_(-oo)^(+oo) e^(jt)/t dt$

va inteso nel senso del valor principale e si calcola come un normale integrale con i residui.

Calcoliamo il residuo della funzione integranda in $0$

$R[0] = 1$

Il valore dell'integrale è dunque $pij$, la cui parte immaginaria è $pi$.

[alberto861]

si ma il teorema dei residui prende l'integrale su un cammino chiuso tu su quale cammino integri??e poi se integri sulla semicorona circolare come dimostri che l'integrale sulla semicirconferenza va a zero per il raggio che diverge??..e lì il mio problema

[Kroldar]

"alberto86":come dimostri che l'integrale sulla semicirconferenza va a zero per il raggio che diverge??..e lì il mio problema

Con il lemma di Jordan.

[alberto861]

Ah ecco il trucco non lo conoscevo questo lemma..ce anche una versione per cammini qualsiasi che divergono??

[Kroldar]

"alberto86":ce anche una versione per cammini qualsiasi che divergono??

Non lo escludo... io però non la conosco.