Seni e coseni e funzioni iperboliche

[lorenza.mattei]

Ciao, ho da dimostrare un'uguaglianza, ma non riesco a farlo:

cosidero $a,b in RR_{>0}$ e $alpha in (0,frac{pi}{2})$, e la relazione $tanh(a)=tan(alpha)sinh(b)$ e devo dimostrare che $lim_{a rightarrow infty}alpha=tan^{-1}(frac{1}{sinh(b)})=2tan^{-1}(e^{-b})$. La prima uguaglianza l'ho dimostrata in modo molto semplice perchè $lim_{a rightarrow infty}tanh(a)=lim_{a rightarrow infty}frac{e^a-e^{-a}}{e^a+e^{-a}}=1$ ma non riesco a dimostrare la seconda uguaglianza... cioè che $tan^{-1}(frac{1}{sinh(b)})=2tan^{-1}(e^{-b})$, qualcuno mi saprebbe dire come procedere?
Grazie mille

[Sk_Anonymous]

Ci provo.Per semplificare la scrittura pongo $e^(-b)=tanbeta$ da cui ,sotto certe condizioni, si ricava che $beta =tan^(-1)(e^(-b))$
Per la duplicazione della tangente si ha:$tan2beta=(2tanbeta)/(1-tan^2beta)=(2e^(-b))/(1-e^(-2b))$ .Da cui moltiplicando sopra e sotto per $e^b $ si ricava $tan2beta=2/(e^b-e^(-b))=1/(sinh(b)$
E quindi esplicitando $2beta$ si ottiene $2beta=tan^(-1)(1/(sinh(b)))$ ma $beta =tan^(-1)(e^(-b))$ e alla fine si ricava che $2tan^(-1)(e^(-b))=tan^(-1)(1/(sinh(b)))$

[lorenza.mattei]

grazie mille!!! bravissimo!