Senarctg a

[Mirelala1]

Vorrei sapere quanto valgono senarctg a cosarctg a, cosarcsen a senarccos a , ma non riesco a calcolarli .
Grazie mille

[fireball1]

Sono esercizi abbastanza semplici.
Basta ricordarsi che arctg(a), arcsen(a), arccos(a)
sono ANGOLI, infatti, ad esempio arctg(a) significa
"angolo la cui tangente è a". Quindi per calcolare
sen(arctg(a)) e cos(arctg(a)) poniamo per prima cosa
arctg(a) = alfa . E' ovviamente: tg(alfa) = a
e poiché l'arcotangente è una funzione limitata e ha
immagine (-pi/2 ; pi/2), sarà anche -pi/2 < alfa < pi/2
Per definizione è tg(alfa) = sen(alfa)/cos(alfa), quindi
scriviamo: a = sen(alfa)/cos(alfa) , poi eleviamo entrambi
i membri al quadrato: a^2 = sen^2(alfa)/cos^2(alfa). Sappiamo
poi che è sen^2(alfa) = 1 - cos^2(alfa) e quindi sostituiamo:
a^2 = (1 - cos^2(alfa))/cos^2(alfa)
a^2cos^2(alfa) = 1 - cos^2(alfa)
(a^2 + 1)cos^2(alfa) = 1
cos(alfa) = sqrt(1/(a^2 + 1))
(non ho messo +/- davanti alla radice perché
essendo -pi/2 < alfa < pi/2, siamo nel primo
e nel quarto quadrante e quindi il coseno è positivo).
Quindi sen(alfa) = (+/-)sqrt(1 - cos^2(alfa)) = ... e si ricava il seno.
Il seno nel primo e quarto quadrante è positivo o negativo, quindi
va messo sia il + che il - davanti alla radice...

[fireball1]

arcsen(a) è un angolo compreso tra -pi/2 e pi/2, come arctg(a)
arccos(a) è un angolo compreso tra 0 e pi.
Poniamo arcsen(a) = alfa e arccos(a) = beta
sen(alfa) = a , cos(beta) = a
Allora: cos(alfa) = sqrt(1 - sen^2(alfa)) = sqrt(1 - a^2)
senza +/- davanti alla radice perché, essendo -pi/2 < alfa < pi/2,
il coseno è comunque positivo.
Inoltre è sen(beta) = sqrt(1 - cos^2(beta)) = sqrt(1 - a^2)
sempre senza +/- davanti alla radice perché, essendo 0 < beta < pi,
il seno è comunque positivo.