Sempre sulle serie
salve vado dritto al sodo:
studiare la seguente serie al variare di $ a>0 in R $
$ sum_(n =1)(sqrt(n+1)-sqrt(n))/n^a $
ho pensato di usare il criterio degli infinitesimi perchè nella forma $n^p*a_n$(le radici sono sempre positive e $ 1/n^a $ è compreso tra 0 e 1 oppure positivo)
quindi:
$ lim_(x -> oo) 1/n^a*((sqrt(n+1)-sqrt(n))*(sqrt(n+1)+sqrt(n)))/(sqrt(n+1)+sqrt(n)) $
che dopo vari calcoli diventa:
$ lim_(n -> oo) 1/(2n^(a+1/2))=1/2lim_(n->oo)n^(-a-1/2) $
studiando l ottengo:
$ { ( 0 <=> -a-1/2>0 <=> a<-1/2),( 1 <=>-a-1/2=0 <=>a=1/2 ),( \oo <=> -a-1/2<0 <=> a>-1/2 ):} $
è corretto?
ho dubbi su l=1 perchè nel limite sarebbe $1/\oo^0 $ che è una forma indeterminata però ho pensato a $ 1/n^0 =1 $
per quanto riguarda gli altri due credo di non aver sbagliato
ma da richiesta a > 0
qundi il caso per l=0 non si studia?
quindi per $ a>0 \ l=+\oo $ quindi non converge per la condizione necessaria di convergenza della serie
$a<-1/2$ cosa faccio?
ho pensato $a<-1/2<0\ =>\ a<0$
per $ a<0\ l=0 $ quindi può convergere (o divergere) e poichè $a_n ~ 1/(2n^(a+(1/2)))$ quest'ultima converge se e solo $a+1/2 > 1$
diverge se e solo se $ a+1/2 <= 1$
spero di esser stato chiaro ed esaustivo grazie .
studiare la seguente serie al variare di $ a>0 in R $
$ sum_(n =1)(sqrt(n+1)-sqrt(n))/n^a $
ho pensato di usare il criterio degli infinitesimi perchè nella forma $n^p*a_n$(le radici sono sempre positive e $ 1/n^a $ è compreso tra 0 e 1 oppure positivo)
quindi:
$ lim_(x -> oo) 1/n^a*((sqrt(n+1)-sqrt(n))*(sqrt(n+1)+sqrt(n)))/(sqrt(n+1)+sqrt(n)) $
che dopo vari calcoli diventa:
$ lim_(n -> oo) 1/(2n^(a+1/2))=1/2lim_(n->oo)n^(-a-1/2) $
studiando l ottengo:
$ { ( 0 <=> -a-1/2>0 <=> a<-1/2),( 1 <=>-a-1/2=0 <=>a=1/2 ),( \oo <=> -a-1/2<0 <=> a>-1/2 ):} $
è corretto?
ho dubbi su l=1 perchè nel limite sarebbe $1/\oo^0 $ che è una forma indeterminata però ho pensato a $ 1/n^0 =1 $
per quanto riguarda gli altri due credo di non aver sbagliato
ma da richiesta a > 0
qundi il caso per l=0 non si studia?
quindi per $ a>0 \ l=+\oo $ quindi non converge per la condizione necessaria di convergenza della serie
$a<-1/2$ cosa faccio?
ho pensato $a<-1/2<0\ =>\ a<0$
per $ a<0\ l=0 $ quindi può convergere (o divergere) e poichè $a_n ~ 1/(2n^(a+(1/2)))$ quest'ultima converge se e solo $a+1/2 > 1$
diverge se e solo se $ a+1/2 <= 1$
spero di esser stato chiaro ed esaustivo grazie .
Risposte
la serie di partenza (come da tuoi calcoli) è asintotica a $ 1/(2n^(alpha+1/2)) $ a questo punto la serie converge (per confronto con la serie armonica generalizzata) se e solo se $alpha +1/2> 1$
quindi non si "studia" il risultato del limite...è semplicemente il confronto $ lim_(n->+\oo) a_n/b_n = l $ dove $ a_n \ \converge \ <=> b_n \converge $ ?
non le capisco proprio queste serie non so mai come comportarmi
non le capisco proprio queste serie non so mai come comportarmi
no bhe non è che non si studi, si può fare anche così è che mi sembrava decisamente più veloce in questo modo (soprattutto quando ci sono dei parametri).
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