Sempre queste serie! :D

[pemaberty]

Sempre una serie

$ ((n^2+2n)/(n^2+2n+1))^(n^(2)+1) $

Qui intuisco che bisogna usare il criterio della radice

$ ((n^2+2n)/(n^2+2n+1))^((n)+(1/n)) $

A questo punto al denominatore avrei 1 e all'esponente infinito... cosa ho sbagliato?

Mi verrebbe da continuare tipo così, ovvero scrivendo tutto come un prodotto (visto che ho all'esponente una somma)

$ ((n^2+2n)/(n^2+2n+1))^(n) * ((n^2+2n)/(n^2+2n+1))^(1/n) $

La seconda parte del prodotto è 1, ma sulla prima parte non riesco a lavorare...[/quote]

[Noisemaker]

ma se ti confonde quella scrittura, scrivila in forma esponenziale, ricordando che stai calcolando un limite

[pemaberty]

Se lo scrivo come:
$ e^(n*log((n^2+2n)/(n^2+2n+1))) * 1 $

$ n $ è un infinito di ordine superiore al logaritmo, quindi quel limitè è + infinito ed essendo maggiore di 1 la serie diverge. Spero che vada bene. Attendo conferme...

[Noisemaker]

il termine generale di quella serie non va a $0,$ quindi non converge

[pemaberty]

Come fai a dire che non va a 0?

Anche io stavo provando a dimostrarlo, ma non ci risco... quello sarebbe $ 1^(inf) $ ?

[Noisemaker]

\begin{align}\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)^{n^2+1}&=\lim_{n\to+\infty}e^{(n^2+1)\ln\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)}\to\lim_{n\to+\infty} (n^2+1)\ln\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)\\
&\sim \lim_{n\to+\infty} n^2 \left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}-1\right) =\lim_{n\to+\infty} - \frac{n^2 }{n^2+2n+1} =-1\to e^{-1}=\frac{1}{e}
\end{align}

[pemaberty]

Grazie Noisemaker, chiarissimo come sempre!