Sempre divergenza integrali (importante)
$int_0^1(cosx+3)/(x^alpha+sqrtx)dx$, $alpha in RR
considerato che, per $x->0^+$, $x^alpha+sqrtx={(x^alpha(1+o(1)),alpha<1/2),(2sqrtx,alpha=1/2),(sqrtx(1+o(1)),alpha>1/2):}
se $alpha>=1/2$, $f(x)=(4-1/2x^2(1+o(1)))/(bsqrtx(1+o(1)))=4/bx^(-1/2)-1/(2b)x^(3/2)$ la f converge sempre ($b=1$ oppure $b=2$)
mentre se $alpha<1/2$, $f(x)=(4-1/2x^2(1+o(1)))/(x^alpha(1+o(1)))=4/x^alpha-1/2x^(2-alpha)$ f converge se e solo se ${(alpha<1),(2-alpha> -1):}rArr alpha <1
dunque l'integrale sembra convergere per ogni alfa reale.... il libro invece dà come risposta alfa < 1
chi ha sbagliato?
considerato che, per $x->0^+$, $x^alpha+sqrtx={(x^alpha(1+o(1)),alpha<1/2),(2sqrtx,alpha=1/2),(sqrtx(1+o(1)),alpha>1/2):}
se $alpha>=1/2$, $f(x)=(4-1/2x^2(1+o(1)))/(bsqrtx(1+o(1)))=4/bx^(-1/2)-1/(2b)x^(3/2)$ la f converge sempre ($b=1$ oppure $b=2$)
mentre se $alpha<1/2$, $f(x)=(4-1/2x^2(1+o(1)))/(x^alpha(1+o(1)))=4/x^alpha-1/2x^(2-alpha)$ f converge se e solo se ${(alpha<1),(2-alpha> -1):}rArr alpha <1
dunque l'integrale sembra convergere per ogni alfa reale.... il libro invece dà come risposta alfa < 1
chi ha sbagliato?
Risposte
secondo i miei calcoli hai ragione te, infatti mettiamo che $alpha>1/2$
otteniamo
$int_0^1(cosx+3)/(x^alpha+x^(1/2)dx$
in $U(0^+)=>f(x)~4/(x^alpha+x^(1/2))=4/(x^(1/2)(x^(alpha-1/2)+1))~1/sqrtx
se $alpha<=1/2$ è ovvio.
quindi converge $AAalphainRR$
otteniamo
$int_0^1(cosx+3)/(x^alpha+x^(1/2)dx$
in $U(0^+)=>f(x)~4/(x^alpha+x^(1/2))=4/(x^(1/2)(x^(alpha-1/2)+1))~1/sqrtx
se $alpha<=1/2$ è ovvio.
quindi converge $AAalphainRR$
grazie.... checcaso! 'sto libro è zeppo d'errori
"NOKKIAN80":
$int_0^1(cosx+3)/(x^alpha+sqrtx)dx$, $alpha in RR
L'integrando è positivo intorno a $0$ e continuo in $]0,1]$.
Il numeratore è continuo in $0$ e pertanto il comportamento dell'integrale dipende unicamente dal comportamento del denominatore in $0$.
Se $alpha>0$ il denominatore è infinitesimo in $0$ d'ordine $min{alpha, 1/2}$, quindi l'integrando è infinito d'ordine $p_alpha=min{alpha,1/2}$. Visto che $AA alpha >0, p_alpha le 1/2$ l'integrale improprio esiste finito.
Se $alpha=0$, il denominatore ha limite finito e non nullo in $0$, onde l'integrando può essere prolungato in maniera continua su tutto $[0,1]$. L'integrale esiste finito anche in questo caso.
Se $alpha<0$ il denominatore è un infinito in $0$, onde l'integrando può essere prolungato in maniera continua a tutto $[0,1]$. L'integrale esiste perciò finito.
Riassumendo $int_0^1(cosx+3)/(x^alpha+sqrtx)dx$ esiste finito per ogni $alpha in RR$.
scusate ma il libro ha ragione..lasciate stare gli o-piccoli che per altro $o(1)$ non va neanche a zero cmq se nel denominatore raccogliete ottenete che l'integrale diverge come $1/((x^alpha)*(1+x^(alpha-1/2)))$ ora nel secondo fattore deve essere $alpha>1/2$ altrimenti non va a zero mentre per il primo fattore serve $alpha>1$ quindi il risultato è $alpha>1$
scusate ho sbagliato diventa $1/(x^(alpha)*(1+x^(1/2-alpha)))$ quindi $alpha<=1/2$ e $alpha<1$. In conclusione $alpha<=1/2$
"alberto86":
scusate ma il libro ha ragione..lasciate stare gli o-piccoli che per altro $o(1)$ non va neanche a zero cmq se nel denominatore raccogliete ottenete che l'integrale diverge come $1/((x^alpha)*(1+x^(alpha-1/2)))$ ora nel secondo fattore deve essere $alpha>1/2$ altrimenti non va a zero mentre per il primo fattore serve $alpha>1$ quindi il risultato è $alpha>1$
no viene
$1/((x^alpha)*(1+x^(1/2-alpha)))$
quindi se $(1/2-alpha)>1=>alpha<1/2$ e diverge come $1/x^alpha$ con $alpha<1/2$
invece se $(1/2-alpha)<1$ e quindi $alpha>1/2$ ottieni
$x^(-1/2+alpha)/((x^alpha)*(1+x^(-1/2+alpha)))=1/((sqrtx)*(1+x^(-1/2+alpha)))$ e quindi converge ancora..
o no?
o(1) va a zero per definizione
Perchè nessuno nota il mio post!
NOKKIAN80 aspetto conferme.
confermo: ha sbagliato il libro
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