Semplifico... regione di convergenza di una serie complessa
Provo a semplificare questo problema https://www.matematicamente.it/forum/sis ... 0f2b99a09c
a renderlo più matematico.
La trasformata z è qualcosa del tipo $sum_(n=-oo)^(+oo)x[n]z^(-n)$ essendo una serie di potenze occorre definirne la regione di convergenza (ROC).
Ora, dato che z è complessa la regione di convergenza nel piano z è delimitata da un cerchio e può essere la parte interna, esterna o una corona circolare...
Ci sono alcune trasformate che si scrivono come rapporto di 2 polinomi in z e per queste la regione è solo quella esterna al cerchio...
Questo cerchio in generale come è disposto nel piano z? Ha il centro nell'origine o non necessariamente?
E nel caso della classe particolare delle trasformate-z razionali (rapporto di 2 polinomi) come è disposto il cerchio?
a renderlo più matematico.
La trasformata z è qualcosa del tipo $sum_(n=-oo)^(+oo)x[n]z^(-n)$ essendo una serie di potenze occorre definirne la regione di convergenza (ROC).
Ora, dato che z è complessa la regione di convergenza nel piano z è delimitata da un cerchio e può essere la parte interna, esterna o una corona circolare...
Ci sono alcune trasformate che si scrivono come rapporto di 2 polinomi in z e per queste la regione è solo quella esterna al cerchio...
Questo cerchio in generale come è disposto nel piano z? Ha il centro nell'origine o non necessariamente?
E nel caso della classe particolare delle trasformate-z razionali (rapporto di 2 polinomi) come è disposto il cerchio?
Risposte
Vale il seguente fatto:
data una successione (nei complessi) $(x_n)_{n\geq0}$ e posto $1/R=\lim"sup"_{n\to+\infty} |x_n|^{1/n}$ (eventualmente $0$ o $+\infty$)
allora la serie $\sum_{n=0}^\infty x_n z^n$ ($z$ complesso)
converge per $|z|
Nel tuo caso devi scrivere la serie tra $-\infty$ e $+\infty$ come somma di due serie di potenze (una delle quali calcolata in $1/z$) e quindi troverai un "raggio interno"
e un "raggio esterno" - il centro è in ogni caso lo zero.
Perdonami ma vado un po' di fretta
data una successione (nei complessi) $(x_n)_{n\geq0}$ e posto $1/R=\lim"sup"_{n\to+\infty} |x_n|^{1/n}$ (eventualmente $0$ o $+\infty$)
allora la serie $\sum_{n=0}^\infty x_n z^n$ ($z$ complesso)
converge per $|z|
Nel tuo caso devi scrivere la serie tra $-\infty$ e $+\infty$ come somma di due serie di potenze (una delle quali calcolata in $1/z$) e quindi troverai un "raggio interno"
e un "raggio esterno" - il centro è in ogni caso lo zero.
Perdonami ma vado un po' di fretta
"ViciousGoblinEnters":
Nel tuo caso devi scrivere la serie tra $-\infty$ e $+\infty$ come somma di due serie di potenze (una delle quali calcolata in $1/z$) e quindi troverai un "raggio interno"
e un "raggio esterno"
OK, fin qui ci sono.. per questo parlavo di corona circolare.
"ViciousGoblinEnters":questo non so come si riesce a conciliare col problema dell'altro post indicato
- il centro è in ogni caso lo zero.
Premesso che non so molto sulla trasformata $z$ (e quindi ci vorrebbe l'aiuto di un esperto)
ho l'impressione che tu sia nel caso limite in cui, se tu prendessi solo gli $n$ positivi avresti la
convergenza fuori dal disco chiuso di raggio $1$, mentre considerando gli $n$ negativi troveresti
la convergenza dentro il disco aperto dello stesso raggio.
In effetti se $x[n]={p(n)}/{q(n)}$ con $p$ e $q$ polinomi la serie può convergere solo sui (in alcuni dei ) punti di raggio $1$
(e allora il problema comincia a somigliare molto a quello delle serie di Fourier ...).
Però, come già detto sopra, non so molto a proposito
ho l'impressione che tu sia nel caso limite in cui, se tu prendessi solo gli $n$ positivi avresti la
convergenza fuori dal disco chiuso di raggio $1$, mentre considerando gli $n$ negativi troveresti
la convergenza dentro il disco aperto dello stesso raggio.
In effetti se $x[n]={p(n)}/{q(n)}$ con $p$ e $q$ polinomi la serie può convergere solo sui (in alcuni dei ) punti di raggio $1$
(e allora il problema comincia a somigliare molto a quello delle serie di Fourier ...).
Però, come già detto sopra, non so molto a proposito
"ViciousGoblinEnters":
Premesso che non so molto sulla trasformata $z$ (e quindi ci vorrebbe l'aiuto di un esperto)
ho l'impressione che tu sia nel caso limite in cui, se tu prendessi solo gli $n$ positivi avresti la
convergenza fuori dal disco chiuso di raggio $1$
ok la mia domanda è proprio qui: mi riconfermi che il disco ha centro nell'origine del piano complesso di z?
ok la mia domanda è proprio qui: mi riconfermi che il disco ha centro nell'origine del piano complesso di z?
Non ho dubbi su questo.
"ViciousGoblinEnters":ok la mia domanda è proprio qui: mi riconfermi che il disco ha centro nell'origine del piano complesso di z?
Non ho dubbi su questo.
ok grazie per le risposte
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