Semplificazione limite attraverso equivalenze asintotiche

[andrea.corzino]

Non ho ben capito questo esercizio riguardante la semplificazione dei limiti mediante sostituzione di una funzione con un'altra equivalente per una certo valore a cui tende x , ecco:

N.B: ho usato il simbolo ~~ per esprimere l'asintoticità di due funzioni,visto che con solo una appariva come un -)

$ log(x*e^x) /(x^2+1) $ per $ xrarr oo $

si ha che:
$ log(x*e^x)=logx+loge^x=x+logx~~ x $
$ x^2+\1~~ x^2 $


percio: $ log(x*e^x) /(x^2+1) ~~ x/x^2~~ 1/x $


ora io non ho capito come ha fatto a dire che logx +x è circa x....quando x tende a infinito...non mi pare abbia sfruttato limiti notevoli...ha forse considerato gli ordini di infinito delle due funzioni?(il log è la funzione che tende piu lentamente ad infinito se non sbaglio,mentre x^1 tende un po' piu velocemente...)qualcuno puo spiegarmelo gentilmente? grazie

[ciampax]

$\log x+x=x(1+\frac{\log x}{x})$ e per $x\to\infty$ il logaritmo è più "lento" della variabile $x$.

[andrea.corzino]

ok,dunque ha usato semplicemente la gerarchia degli infiniti

e dato che quando $ xrarr oo $ la funzione x assume in modulo valori molto piu grandi rispetto a quanto faccia il logaritmo,nonostante entrambe tendano a infinito al limite.


ne approfitto per mostrare un ultimo esercizio che mi ha fatto venire un piccolo dubbio concettuale:
l'esercizio è analogo ma sta volta la funzione è:

$ e^(x+1)/(x*sqrt(x+3) $ per $ xrarr 0 $

ora fa le seguenti considerazioni (per x che tende a zero):
$ e^(x+1) rarr e $
$ x rarr 0 $
$ sqrt(x+3) rarr sqrt(3) $


pertanto: $ e^(x+1)/(x*sqrt(x+3) ) ~~ e/(sqrt(3)* x $


ora volevo capire come mai nell'esercizio precedente quando si stava ragionando per pezzi(sull'asintoticità dei singoli termini che componevano l'espressione complessiva) si utilizzava il simbolo di equivalenza asintotica mentre in questo esempio si utilizza il simbolo di limite " $ rarr $ " quando si ragiona sui singoli termini facente parte dell'espressione completa...per poi riutilizzare il simbolo di equivalenza asintotica ~~ alla fine,quando si considera l'espressione generale come un pezzo unico...

cioè perche nell'esercizio prima si è utilizzato il simbolo ~~ mentre in questo il simbolo rarr quando si consideravano i singoli termini dell'espressione ?

grazie