Semplificazione fattoriale

[marcook1]

Ciao a tutti, in un conto proposto in una dimostrazione che vi risparmio, c'è un passaggio che non riesco proprio a capire. Lo riporto qui sperando che qualcuno sappia illuminarmi:

$sum_{i=1}^infty (-1)^(i+1)tau^(2i-2)/((2i-2)!)=+1-sum_{i=1}^infty (-1)^(i+1)tau^(2i)/((2i)!)$

Grazie

[dan952]

È stato "isolato o tirato fuori" il primo termine della somma al primo membro che è $(-1)^{1+1}\frac{\tau^{2 \cdot 1-2}}{(2 \cdot 1-2)!}=1$ appunto
Dunque isolando/levando quel termine avremo
$\sum_{i=2}^{+\infty}(-1)^{i+1}\frac{\tau^{2i-2}}{(2i-2)!}$ per far ripartire la somma (quella senza il primo termine) da $j=1$ possiamo sostituire $j=i-1$ e quindi avremo che:
$\sum_{j=1}^{+\infty}(-1)^{j+2}\frac{\tau^{2j}}{(2j)!}$
Raccogliendo il fattore -1 diventa
$-\sum_{j=1}^{+\infty}(-1)^{j+1}\frac{\tau^{2j}}{(2j)!}$
Notare che l'esponente di (-1) è diminuito di 1 quindi ricapitolando
$\sum_{i=1}^{+\infty}(-1)^{i+1}\frac{\tau^{2i-2}}{(2i-2)!}=2-\sum_{j=1}^{+\infty}(-)^{j+1}\frac{\tau^{2j}}{(2j)!}$

[marcook1]

Grazie mille, illuminante