Semplificazione di una funzione

[lex1531]

mi stavo per cimentare in questo esercizio per il calcolo dei punti di massimo e minimo, quando mi sono accorto che le derivate parziali sarebbero venute un inferno!

mi chiedevo se posso semplificare la funzione in questo modo, altrimenti mi scuso per le stupidagini proposte

ecco la funzione:

$f(x,y)=log(|xy(y^2 + x^2 - 1)|+1)$

ecco mi chiedevo se posso sostituire tutta quella parentesi $(y^2 + x^2 - 1)$ con una bella $t$ e farla diventare più semplice o se c'è qualche modo per semplificarla per non perdere ore a derivare!

grazie!

[Raptorista1]

Se anche scrivessi \(x^2 + y^2 - 1 = t = t(x,y)\), comunque nel calcolare le derivate parziali dovresti usare la regola della derivazione del prodotto di composizione, e quindi far saltare fuori, al momento giusto, le derivate \(\partial_x t\) e \(\partial_y t\), e quindi sei di nuovo da punto a capo.

Forse però ci sono altre vie: devi calcolare massimi e minimi di quella funzione? Magari ti conviene osservare che la funzione logaritmo è monotona e crescente

[lex1531]

si devo calcolare massimi e minimi!

ma se svolgo la derivata parziale sostituendo $t(x,y)$ alla fine mi verrà una funzione in $t$ giusto? poi mi basta risostituire la $t$ con la funzione in $(x,y)$ ?

[Raptorista1]

Sì, ma \(t\) dipende da \(x\) ed \(y\), quindi devi comunque fare le derivate parziali di \(t\) rispetto ad \(x\) ed \(y\)! Di fatto, fai gli stessi identici conti.