Semplificare gli addendi infinitesimi è non preciso?
Parto dall' esempio più semplice di derivata, quella della parabola di equazione $y=f(x)=x^2$
La derivata è calcolata così:
$(d/dx)f(x)=(f(x+h)-f(x))/h$
Da cui:
$(d/dx)(x^2)=((x+h)^2-x^2)/h$
h in tal caso tende a zero e non può essere zero altrimenti la derivata non esisterebbe per cui si ha:
$(d/dx)(x^2)=(x^2+2xh+h^2-x^2)/h$
Cioè: $(d/dx)(x^2)=2x+h^2$
Solo se $h=0$ la derivata vale $2x$, ma poiché durante il rapporto $2xh/h$ abbiamo dovuto escludere $h=0$, la derivata è completamente imprecisa?
La derivata è calcolata così:
$(d/dx)f(x)=(f(x+h)-f(x))/h$
Da cui:
$(d/dx)(x^2)=((x+h)^2-x^2)/h$
h in tal caso tende a zero e non può essere zero altrimenti la derivata non esisterebbe per cui si ha:
$(d/dx)(x^2)=(x^2+2xh+h^2-x^2)/h$
Cioè: $(d/dx)(x^2)=2x+h^2$
Solo se $h=0$ la derivata vale $2x$, ma poiché durante il rapporto $2xh/h$ abbiamo dovuto escludere $h=0$, la derivata è completamente imprecisa?
Risposte
"curie88":
[...]
La derivata è calcolata così:
$(d/dx)f(x)=f(x+h)-f(x))/h$
[...]
Ex falso sequitur quodlibet, la derivata è il limite del rapporto incrementale, non il rapporto incrementale e basta.
Si certo, ma per limite non si intende semplicemente un tendere di $h$ a zero? Con questo si dovrebbe intendere che è sempre $h>0$, dunque la semplificazione dell-addendo $h^2$ nell'esempio su posto è illecita.
"curie88":
[...] Con questo si dovrebbe intendere che è sempre $h>0$ [...]
No, semmai \( |h|>0 \), altrimenti stai calcolando la derivata destra.
"curie88":
[...] dunque la semplificazione dell-addendo $h^2$ nell'esempio su posto è illecita.
Non lo è perché, appunto, \( \lim_{h \to 0 } 2x + h = 2x \).
comunque è \( \lim_{h \to 0 } 2x + h \)
@080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 mi sa che non hai capito ciò che intendo, e comunque impara a ragionare e a dare una spiegazione di ciò che affermi, perché il limite deve essere giustificato! Non puoi rispondere che è così e basta senza prendere nemmeno in considerazione la tesi della mia domanda come fate in tanti qui.
"curie88":
@080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 mi sa che non hai capito ciò che intendo, e comunque impara a ragionare e a dare una spiegazione di ciò che affermi, perché il limite deve essere giustificato! Non puoi rispondere che è così e basta senza prendere nemmeno in considerazione la tesi della mia domanda come fate in tanti qui.
Ah be' c'è sicuramente molto da ridere...
@curie88
Il limite di una funzione in un punto NON è il valore della funzione in quel punto.
Possono certamente coincidere come accade per esempio per tutti i punti del dominio di una funzione continua ma anche no ed anzi sono questi punti quelli più interessanti di solito al fine di calcolare il limite.
Nel caso in questione, l'$h$ è semplificabile perché è sempre diversa da zero (tranne nel punto limite che però non è necessario che appartenga al dominio della funzione in esame)
Mai sentito parlare di punto di accumulazione?
Forse perché spesso non sono molto chiare?
Il limite di una funzione in un punto NON è il valore della funzione in quel punto.
Possono certamente coincidere come accade per esempio per tutti i punti del dominio di una funzione continua ma anche no ed anzi sono questi punti quelli più interessanti di solito al fine di calcolare il limite.
Nel caso in questione, l'$h$ è semplificabile perché è sempre diversa da zero (tranne nel punto limite che però non è necessario che appartenga al dominio della funzione in esame)
Mai sentito parlare di punto di accumulazione?
"curie88":
… senza prendere nemmeno in considerazione la tesi della mia domanda come fate in tanti qui.
Forse perché spesso non sono molto chiare?
Ciao @axpgn, ti ringrazio per la risposta.
Hai ragione f(x) non è sempre coincidente con il valore di x nel punto, ho già sentito parlare di punto d-accumulazio e ma devo approfondire il concetto.
Ma $h$ qui non potrà mai essere nullo in quanto sta a denominatore nel rapporto ma quando va a semplificarsi come addendo dovrebbe pur valere un valore diverso da zero e quindi l-addendo non vale zero, o erro?
Che poi viene approssimato è un altro conto.
Hai ragione f(x) non è sempre coincidente con il valore di x nel punto, ho già sentito parlare di punto d-accumulazio e ma devo approfondire il concetto.
Ma $h$ qui non potrà mai essere nullo in quanto sta a denominatore nel rapporto ma quando va a semplificarsi come addendo dovrebbe pur valere un valore diverso da zero e quindi l-addendo non vale zero, o erro?
Che poi viene approssimato è un altro conto.
In sostanza per fare una domanda più precisa:
Perché nel passaggio al limite l'incremento vale due valori distinti contemporaneamente? Sempre zero per gli addendi e sempre diverso da zero per i rapporti contemporaneamente?
Perché nel passaggio al limite l'incremento vale due valori distinti contemporaneamente? Sempre zero per gli addendi e sempre diverso da zero per i rapporti contemporaneamente?
Adoro quando si cominciano a recuperare critiche vecchie di secoli per rompere le scatole su un forum, anziché per apprezzare lo sviluppo storico delle idee del Calcolo...
@ curie88: Le obiezioni à la Berkeley sono un po' datate, diciamo tanto quanto le idee sullo spazio assoluto che ho richiamato ieri in chiusura di un tuo post.
Mi spiace, ma dovrai faticare un po' più di così per minare le fondamenta del Calcolo.
[xdom="gugo82"]Chiudo.[/xdom]
@ curie88: Le obiezioni à la Berkeley sono un po' datate, diciamo tanto quanto le idee sullo spazio assoluto che ho richiamato ieri in chiusura di un tuo post.
Mi spiace, ma dovrai faticare un po' più di così per minare le fondamenta del Calcolo.
[xdom="gugo82"]Chiudo.[/xdom]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo