Semplificare espressioni contenenti o piccolo
Buongiorno a tutti, scrivo qui per chiedervi un aiuto. Sto seguendo un corso di Analisi 1 e stiamo trattando l'o piccolo in questi giorni. Sto cercando di fare qualche esercizio ma non ci riesco e penso di non riuscirci perché non ho compreso fino in fondo il concetto di o piccolo.
Partiamo con uno dei tanti esercizi che non riesco a fare:
$ x+x*o(x^2)+3x^2+o(x^4)-4x^5 $
L'esercizio richiede di semplificare la seguente espressione senza perdere informazioni. Ma cosa vuol dire senza perdere informazioni? E come procedo per semplificarla?
Partiamo con uno dei tanti esercizi che non riesco a fare:
$ x+x*o(x^2)+3x^2+o(x^4)-4x^5 $
L'esercizio richiede di semplificare la seguente espressione senza perdere informazioni. Ma cosa vuol dire senza perdere informazioni? E come procedo per semplificarla?
Risposte
Grazie per la risposta, sei stato davvero chiaro!
Ho provato quindi a semplificare l'espressione e mi esce $ x+3x^2-4x^5+o(x^3) $ ma il libro come risultato riporta $ x+3x^2+o(x^3) $ non capisco perché non riporta il termine $ -4x^5 $. Mi viene da pensare che questo termine per x->0 è inutile riportarlo perchè tanto abbiamo un errore maggiore, infatti c'è o(x^3). Corretto? Ho anche un altro dubbio, come faccio a stabilire quanto è precisa un espressione con l'o piccolo, e come faccio a capire quali termini sono inutili? Come funziona invece se x->inf?
Ho provato quindi a semplificare l'espressione e mi esce $ x+3x^2-4x^5+o(x^3) $ ma il libro come risultato riporta $ x+3x^2+o(x^3) $ non capisco perché non riporta il termine $ -4x^5 $. Mi viene da pensare che questo termine per x->0 è inutile riportarlo perchè tanto abbiamo un errore maggiore, infatti c'è o(x^3). Corretto? Ho anche un altro dubbio, come faccio a stabilire quanto è precisa un espressione con l'o piccolo, e come faccio a capire quali termini sono inutili? Come funziona invece se x->inf?
Il libro non riporta il termine $ -4x^5 $ perchè $ (-4x^5)/x^3=0 $ se $ x->0 $. Allora il termine diventa trascurabile, diciamo che viene assorbito dal termine che hai alla fine, $ o(x^3) $.
Ok, capito. Ma se invece x->+inf, a questo punto il $ -4x^5 $ non avrei potuto eliminarlo, però avrei potuto togliere l'o piccolo corretto o no?
Ma se $ x-> +oo $ allora $ o(x^2) $ cosa significa? Se applichi la definizione...
Vuol dire che $ o(x^3) $ rappresenta una funzione che tende ad infinito meno rapidamente rispetto ad $ x^3 $ in modo che il rapporto $ (o(x^3))/x^3 -> 0 $, quindi mi viene da pensare che sia un errore talmente grande che solo il termine $ -4x^5 $ è utile! Giusto?
Perfetto! Infatti $ lim_(x -> +oo)x^alpha/x^3=0 $ se e solo se $ alpha<3 $. Il termine che domina allora è $ -4x^5 $
Ho capito, fantastico! Grazie mille a entrambi. Buona serata!
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