Semplici Serie Numeriche

[Noiky91]

Ciao a tutti volevo avere conferma sullo svolgimento delle seguenti:

$\sum_{n=1}^infty sin(1/root(n)(n))$
$\sum_{n=1}^infty sin(1/n^3)$

Per quanto riguarda la seconda per vedere se è convergente considero il termine generale e vedo se è infinitesimo.
Applico il criterio del confronto in quanto so che la funzione seno è compresa tra -1 e 1 e viene:

$-1/n^3
allora anche il termine generale tende a 0 e quindi per Cauchy la serie converge.

Applico lo stesso ragionamento per svolgere la prima?
Ringrazio chiunque avrà la pazienza di rispondere ..

[Sk_Anonymous]

"Noiky91":[...]
Applico il criterio del confronto in quanto so che la funzione seno è compresa tra -1 e 1 e viene:
[...]

Sì, ma in questo caso l'argomento del seno tende a zero "da sopra" per \(\displaystyle n \to \infty \), quindi ragionevolmente \[\displaystyle 0<\sin \left(\frac{1}{n^{3}} \right) < \frac{1}{10} \] da un certo \(\displaystyle \bar{n} \) in poi.

"Noiky91":[...] allora anche il termine generale tende a 0 e quindi per Cauchy la serie converge.

Che criterio sarebbe questo? Enuncialo, per favore.

[21zuclo]

"Noiky91":
$-1/n^3
allora anche il termine generale tende a 0 e quindi per Cauchy la serie converge.

lascia perdere il teorema di convergerza delle serie. Quello è più applicabile quando NON si ha la convegerza, per esempio questa serie $\sum 1/n$, il suo termine generale è infinitesimo, ma in questo caso DIVERGE!

ora tu hai fatto per confronto, va bene anche solo fare così $\sin(1/n^3)<1/n^3$, e siccome $\sum (1)/(n^3)$ CONVERGE, allora convege anche la serie di partenza!

Perchè converge? semplice è la serie armonica generalizzata $\sum (1)/(n^\alpha)$, convege solo quando $\alpha>1$

[Sk_Anonymous]

"21zuclo":[...] lascia perdere il teorema di convergerza delle serie. Quello è più applicabile quando NON si ha la convegerza, per esempio questa serie $\sum 1/n$, il suo termine generale è infinitesimo, ma in questo caso DIVERGE! [...]

Posso sapere di cosa stai parlando?

[Noiky91]

"21zuclo":[quote="Noiky91"]
$-1/n^3
allora anche il termine generale tende a 0 e quindi per Cauchy la serie converge.

lascia perdere il teorema di convergerza delle serie. Quello è più applicabile quando NON si ha la convegerza, per esempio questa serie $\sum 1/n$, il suo termine generale è infinitesimo, ma in questo caso DIVERGE!

ora tu hai fatto per confronto, va bene anche solo fare così $\sin(1/n^3)<1/n^3$, e siccome $\sum (1)/(n^3)$ CONVERGE, allora convege anche la serie di partenza!

Perchè converge? semplice è la serie armonica generalizzata $\sum (1)/(n^\alpha)$, convege solo quando $\alpha>1$[/quote]
Quindi quello che hai utilizzato tu è il confronto asintotico? . Lo posso applicare anche al primo esercizio??

"Delirium":[quote="Noiky91"][...]
Applico il criterio del confronto in quanto so che la funzione seno è compresa tra -1 e 1 e viene:
[...]

Sì, ma in questo caso l'argomento del seno tende a zero "da sopra" per \(\displaystyle n \to \infty \), quindi ragionevolmente \[\displaystyle 0<\sin \left(\frac{1}{n^{3}} \right) < \frac{1}{10} \] da un certo \(\displaystyle \bar{n} \) in poi.

"Noiky91":[...] allora anche il termine generale tende a 0 e quindi per Cauchy la serie converge.

Che criterio sarebbe questo? Enuncialo, per favore.[/quote]


MI riferisco al criterio di cauchy per la convergenza per le serie.
"Condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie converga è che il termine generale è infinitesimo. "
E' sbagliato?
Grazie per le correzioni!

[Sk_Anonymous]

"Noiky91":
MI riferisco al criterio di cauchy per la convergenza per le serie.
"Condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie converga è che il termine generale è infinitesimo. "
E' sbagliato?
[...]

Ovviamente sì. Quella condizione è solo necessaria, ma non sufficiente. La serie armonica ha termine generale infinitesimo, eppure diverge. Dove hai letto di questo criterio? E poi scusa, se così fosse, perché sei stato a maggiorare? Bastava dire \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin \left(\frac{1}{n^{3}} \right)=0 \] quindi la serie converge.

Personalmente conosco due criteri di convergenza di Cauchy: uno è quello di condesazione, e l'altro sfrutta la nozione di convergenza alla Cauchy, ma mi pare spesso inapplicabile.