Semplicemente limite

[giulio013]

ragazzi ho fatto dei limiti ma sono in dubbio se siano giusto o meno... uno sguardo?

1) $ lim_(x->0^+) (1-cos(x))^(1/(tgx)) = (1-cos(x))^(1/(tgx)* 1/-cosx) = e^(1/(tgx)*-1) = e^(-oo) = 0 $

[Weierstress]

Il risultato è corretto, il procedimento no... non puoi moltiplicare a caso l'esponente per il coseno. Basta invece osservare che \[\displaystyle (1-\cos(x))^{\frac{1}{\tan x}}=\exp\left[\frac{\log(1-\cos x)}{\tan x}\right]\sim \exp\left[\frac{-\cos x}{x}\right]\rightarrow 0\] P.S. Cambia il titolo... un semplice "limite" va già meglio

[giulio013]

E' per ricondurmi al limite notevole che moltiplico l'esponente per cosx

[Weierstress]

E' un nobile intento. Tuttavia se dividi per una certa quantità, devi anche moltiplicare per la stessa, altrimenti ottieni una funzione diversa da quella di partenza, e tanti saluti a qualunque risultato sensato.

[pilloeffe]

Ciao giulio0,

"giulio0":E' per ricondurmi al limite notevole [...]

Se per caso ti riferisci al limite notevole

$lim_{f(x) \to +\infty} (1 + frac{1}{f(x)})^{f(x)} = e $

allora sei fuori strada, perché il limite proposto è nella forma indeterminata $(\to 0)^{\to infty} $, non nella forma indeterminata $(\to 1)^{\to infty} $

@Weierstress
La soluzione che hai proposto non è corretta: per $log(1 - cos x) $ non puoi usare quella stima asintotica perché $cos x$ tende a $1$ per $x \to 0^+ $, non a $0$; però si può usare lo sviluppo in serie di $1 - cos x $ ...

[Weierstress]

Uups, accidenti. Hai perfettamente ragione pillo, meno male ci sei tu. Dovrei andare a letto più presto

[pilloeffe]

"Weierstress":Hai perfettamente ragione pillo, meno male ci sei tu.

Ma figurati, no problem, una svista può capitare a tutti, sottoscritto incluso...
Comunque in effetti non è neanche necessario ricorrere allo sviluppo in serie, infatti si ha:

$ lim_{x \to 0^+} frac{log(1- cos x)}{tan x} = lim_{x \to 0^+} log(1- cos x) \cdot frac{1}{tan x} = - \infty $

Quindi il risultato del limite proposto è $0$
In alternativa si poteva tener conto subito del limite notevole $lim_{x \to 0^+} frac{1- cos x}{x^2} = 1/2 $ e quindi

$ lim_{x \to 0^+} (1-cos(x))^(1/(tan x)) = lim_{x \to 0^+} (frac{1-cos(x)}{x^2} \cdot x^2)^(1/(tan x)) = lim_{x \to 0^+} (frac{1-cos(x)}{x^2})^(1/(tan x)) \cdot lim_{x \to 0^+} (x^2)^(1/(tan x)) = $
$ = lim_{x \to 0^+} (frac{1-cos(x)}{x^2})^(1/(tan x)) \cdot lim_{x \to 0^+} (x^{2/x})^(x/(tan x)) $

Dato che il primo limite risulta $0$ e l'esponente del secondo vale $1$ per $ x \to 0^+ $, è sufficiente far vedere che $ lim_{x \to 0^+} x^{2/x} = k $, $ k \in \RR $, per concludere che il limite proposto risulta $0$. In effetti si dimostra abbastanza facilmente che $k = 0 $, per cui il limite proposto risulta $0$

[ot]Questa è fantastica:
"When I wrote this, only God and I understood what I was doing. Now, God only knows."[/ot]