Semplice quesito equazioni differenziali
Ciao a tutti,
avrei una curiosità sulle convenzioni delle equazioni differenziali perché ogni testo ne usa una, matlab ne usa un altro ancora etc.
In particolare quando presentiamo le soluzioni generali/la famiglia delle curve integrali, c'è una qualche convenzione per le costanti?
Se alcuni hanno $4+c$ mettono semplicemente $c_1$, nelle equazioni differenziali a variabili separabili se si ha
$int f(y)dy=intg(x)dx$ mettono direttamente $F(y)=G(x)+c$ omettendo (correttamente) di dire che $c=c_g - c_f$. So che è tutti i metodi sono giusti e che, probabilmente questa è una discussione sul nulla, ma quelli comunemente più accettati/più comodi/più immediati quali sono, secondo voi?
Inoltre data la semplice eq. diff $x'(t)=x(t)t^3$ io risolverei con le variabili separabili dopo aver notato la soluzione costante $x(t)=0$
$1/(x(t))*dx/dt=t^3 => int 1/(x(t)) dx = int t^3 dt => ln(x(t))=t^4/4+c => x(t)=e^(t^4/4+c)$ (e per dire, matlab dà come risultato $e^(t^4/4)*c$ ponendo $c=e^4$). A parte ciò, ho visto che alcuni risolvono $(x'(t))/(x(t))=t^3 => int (x'(t))/(x(t))[=d/dt lnx(t)]dx=int t^3 dt =>ln(x(t))=t^4/4 + c$ e come prima. Però non mi convince molto, con i differenziali come si sono comportati?
avrei una curiosità sulle convenzioni delle equazioni differenziali perché ogni testo ne usa una, matlab ne usa un altro ancora etc.
In particolare quando presentiamo le soluzioni generali/la famiglia delle curve integrali, c'è una qualche convenzione per le costanti?
Se alcuni hanno $4+c$ mettono semplicemente $c_1$, nelle equazioni differenziali a variabili separabili se si ha
$int f(y)dy=intg(x)dx$ mettono direttamente $F(y)=G(x)+c$ omettendo (correttamente) di dire che $c=c_g - c_f$. So che è tutti i metodi sono giusti e che, probabilmente questa è una discussione sul nulla, ma quelli comunemente più accettati/più comodi/più immediati quali sono, secondo voi?
Inoltre data la semplice eq. diff $x'(t)=x(t)t^3$ io risolverei con le variabili separabili dopo aver notato la soluzione costante $x(t)=0$
$1/(x(t))*dx/dt=t^3 => int 1/(x(t)) dx = int t^3 dt => ln(x(t))=t^4/4+c => x(t)=e^(t^4/4+c)$ (e per dire, matlab dà come risultato $e^(t^4/4)*c$ ponendo $c=e^4$). A parte ciò, ho visto che alcuni risolvono $(x'(t))/(x(t))=t^3 => int (x'(t))/(x(t))[=d/dt lnx(t)]dx=int t^3 dt =>ln(x(t))=t^4/4 + c$ e come prima. Però non mi convince molto, con i differenziali come si sono comportati?
Risposte
Mah, a livello concettuale scrivere $F(y) = G(x) + c$ oppure $F(y) = G(x) + (c_2-c_1)$ non fa alcuna differenza, perchè se $c_1,c_2$ sono arbitrarie, anche $c=c_2-c_1$ è arbitraria.
A livello di correttezza formale, una EDO non si dovrebbe risolvere senza assegnare opportune condizioni (iniziali, al contorno, etc...). Se assegni la condizione iniziale \(y^\prime (x_0) = y_0\), una EDO a variabili separabili del tipo \( f\big( y(x)\big)\cdot y^\prime (x) = g(x)\) si risolve usando l'integrazione definita e le funzioni integrali come segue:
\[
\int_{x_0}^x f\big( y(t)\big)\cdot y^\prime (t)\ \text{d} t = \int_{x_0}^x g(t)\ \text{d} t\quad \Leftrightarrow \quad \int_{y(x_0)}^{y(x)} f\big( \tau \big)\ \text{d} \tau = \int_{x_0}^x g(t)\ \text{d} t
\]
da cui segue:
\[
\left. F(\tau )\right|_{y_0}^{y(x)} = \left. G(t) \right|_{x_0}^x
\]
(in cui $F,G$ sono le primitive di $f,g$), ossia:
\[
F\big( y(x) \big) = G(x) - G(x_0) + F(y_0)
\]
che è la soluzione del PdC:
\[
\begin{cases} f\big( y(x)\big)\cdot y^\prime (x) = g(x) \\
y(x_0) = y_0\; .
\end{cases}
\]
Se lasci $x_0$ ed $y_0$ liberi di variare, la costante additiva \(F(y_0) - G(x_0)\) diviene assolutamente arbitraria e può (almeno nella pratica, per individuare l'integrale generale della EDO) essere rimpiazzata da una $c$.
A livello di correttezza formale, una EDO non si dovrebbe risolvere senza assegnare opportune condizioni (iniziali, al contorno, etc...). Se assegni la condizione iniziale \(y^\prime (x_0) = y_0\), una EDO a variabili separabili del tipo \( f\big( y(x)\big)\cdot y^\prime (x) = g(x)\) si risolve usando l'integrazione definita e le funzioni integrali come segue:
\[
\int_{x_0}^x f\big( y(t)\big)\cdot y^\prime (t)\ \text{d} t = \int_{x_0}^x g(t)\ \text{d} t\quad \Leftrightarrow \quad \int_{y(x_0)}^{y(x)} f\big( \tau \big)\ \text{d} \tau = \int_{x_0}^x g(t)\ \text{d} t
\]
da cui segue:
\[
\left. F(\tau )\right|_{y_0}^{y(x)} = \left. G(t) \right|_{x_0}^x
\]
(in cui $F,G$ sono le primitive di $f,g$), ossia:
\[
F\big( y(x) \big) = G(x) - G(x_0) + F(y_0)
\]
che è la soluzione del PdC:
\[
\begin{cases} f\big( y(x)\big)\cdot y^\prime (x) = g(x) \\
y(x_0) = y_0\; .
\end{cases}
\]
Se lasci $x_0$ ed $y_0$ liberi di variare, la costante additiva \(F(y_0) - G(x_0)\) diviene assolutamente arbitraria e può (almeno nella pratica, per individuare l'integrale generale della EDO) essere rimpiazzata da una $c$.
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