Semplice problema di Cauchy...
ho questo problema di Cauchy:
$ y^{\prime}x = /2 $
$ y(-1)=2$
ma non capisco come mai non compaia la y al primo membro...come la devo considerare?
$ y^{\prime}x = /2 $
$ y(-1)=2$
ma non capisco come mai non compaia la y al primo membro...come la devo considerare?
Risposte
Vabbè che il problema è di Cauchy e sono ca**i suoi, ma se non lo scrivi tutto sarà difficile da risolvere... 
"amel":
Vabbè che il problema è di Cauchy e sono ca**i suoi, ma se non lo scrivi tutto sarà difficile da risolvere...
mhaumhuamhauMHAMUMAMHMMHAHmahmaMHaMuMa
è proprio questo il problema...che l'esercizio viene dato così...e non so da dove cominciare....non mi è mai capitato di veder mancare la "y" ...
sì ma qualcosa su quel punto interrogativo la devi pur sapere...
"amel":
sì ma qualcosa su quel punto interrogativo la devi pur sapere...
punto interrogativo? che punto interrogativo?
forse non ho scritto bene il testo, l'esercizio intero è il n°1 a questo indirizzo:
http://www.dimi.uniud.it/~mslucido/Ve3lug06.pdf
OK, quindi è così...
$ y^{\prime}x = pi/2 $
$ y(-1)=2$
$ y^{\prime}x = pi/2 $
$ y(-1)=2$
"amel":
OK, quindi è così...
$ y^{\prime}x = pi/2 $
$ y(-1)=2$
esatto...anche se mi sembra come l'avevo scritto io...è possibile che ci sia un errore di stampa nell'esercizio?
Comunque, a parte le questioni tipografiche, sicuramente una soluzione non potrà essere definita in $x=0$ perchè altrimenti
$0\ =y^{\prime}(0) \ 0\ =pi/2 $
A quel punto puoi dividere per x tanto sai che la funzione non è definita in $x=0$...
Continua tu...
$0\ =y^{\prime}(0) \ 0\ =pi/2 $
A quel punto puoi dividere per x tanto sai che la funzione non è definita in $x=0$...
Continua tu...
...non capisco come vada risolta,fin'ora ho sempre fatto soltato equazioni differenziali lineari (omogenee e non), eppure mi sembra semplice...mi verrebbe da scriverla in questo modo
$(dy)/(dx)=(/2)x$
però poi non so che fare...
$(dy)/(dx)=(/2)x$
però poi non so che fare...
caro Dave
il fatto che ti siano note solo le equazioni differenziali lineari non può essere una 'scusa' in quanto l'equazione...
$y'*x=pi/2$ (1)
... è lineare nell'incognita y...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
il fatto che ti siano note solo le equazioni differenziali lineari non può essere una 'scusa' in quanto l'equazione...
$y'*x=pi/2$ (1)
... è lineare nell'incognita y...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
... se poi quello che ti 'imbarazza' è il fatto che manca il termine in $y$, allora sei fortunato poichè scambiando la variabile indipendente e l'incognita si ottiene una equazione differenziale in $x$ ancora lineare e per di più 'incompleta' [così che non è necessario andare alla ricerca affannosa del famoso 'integrale particolare'... ]. Con la ovvia sostituzione $x'= 1/(y')$ infatti il 'problema di Cauchy' diviene...
$x'-2/pi*x=0$, $x(2)=-1$ (1)
Più di così...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
]. Con la ovvia sostituzione $x'= 1/(y')$ infatti il 'problema di Cauchy' diviene... $x'-2/pi*x=0$, $x(2)=-1$ (1)
Più di così...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
... se poi quello che ti 'imbarazza' è il fatto che manca il termine in $y$, allora sei fortunato poichè scambiando la variabile indipendente e l'incognita si ottiene una equazione differenziale in $x$ ancora lineare e per di più 'incompleta' [così che non è necessario andare alla ricerca affannosa del famoso 'integrale particolare'...
$x'-2/pi*x=0$, $x(2)=-1$ (1)
Più di così...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
....sono un caso patologico...non mi riesce di capire...veramente...mi vergogno quasi a dirlo, ma visto come la poni tu, sembra na banalità...forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua...
una sostituzione del genere non l'avevo mai vista...per come ho sempre risolto le equazioni differenziali, l'unica cosa che mi verrebbe da fare è metterla così:
$y^{\prime} = /(2x)$
e poi trovare una soluzione come $c*e^(int /(2x))$...ma non mi sembra abbia molto senso, pensando a quanto hai scritto tu...
non vorrei insistere e abusare della vostra disponibilità...grazie ancora...
ma se la risolvo così dico na ca***ta ?
$(dy)/(dx)x = /2$
$intdy = int /2(dx)/x$
$y = /2 log|x| + c$
quindi siccome $y(-1) = 2 $ allora $c = 2$
(non ricordavo più che $int 1/t = log |t|$ ma solo che $int 1/t = log t$
)
...aveva proprio ragione Einstein quando sosteneva che all'ignoranza umana non ci fosse limite...
$(dy)/(dx)x = /2$
$intdy = int /2(dx)/x$
$y = /2 log|x| + c$
quindi siccome $y(-1) = 2 $ allora $c = 2$
(non ricordavo più che $int 1/t = log |t|$ ma solo che $int 1/t = log t$
)...aveva proprio ragione Einstein quando sosteneva che all'ignoranza umana non ci fosse limite...
Bravissimo Dave!...
Riguardo alla 'sostituzione' fatta da me, non vi è nulla di 'alieno'. Se invece della $y$ consideri incognita la $x$ e ricordi la regola della derivazione della funzione inversa sarà...
$x'(y)=1/(y'(x))$ (1)
Se abbiamo l'equazione differenziale...
$y'=pi/(2x)$ (2)
... facendo l'inverso del primo e secondo membro e riarragiando un poco si ottiene...
$x'-2/pi*x=0$ (3)
... e la condizione iniziale diviene $x(2)=-1$
La soluzione della (3) [equazione lineare e 'incompleta'...], a differenza della (2) non presenta problemi nè 'trabocchetti'. L'integrale generale è...
$x= c*e^(2/pi*y)$ (4)
... la quale con la condizione $x(2)=-1$ diviene...
$x=-e^(-4/pi)*e^(2/pi*y)$ (5)
Naturalmente se si vuole $y$ in funzione di $x$ basta trovare la funzione inversa facendo il logaritmo del [valore assoluto del] primo termine e del secondo termine ottenendo con un paio di passaggi...
$y= pi/2*ln|x|+2$ (6)
A questo punto certamente mi chiederai a che cosa è servita la 'furbata'. Diciamo che la furbata è utile in pratica tutte le volte che, scritta l'equazione in forma 'canonica'...
$y'= f(x,y)$ (7)
... la $f(x,y)$ ha dei 'punti singolari' per certi valori di $x$. Nel nostro caso è $f(x,y)=pi/(2x)$ , quindi con una singolarità in $x=0$. Se allora la 'condizione iniziale' fosse stata diversa e magari del tipo $y(0)=$ 'qualche cosa', allora dovresti subito far suonare una 'sirena d'allarme'. Se però la stessa equazione è scritta nella forma (3) e la condizione iniziale è $x($qualche cosa$)=0$, essa è perfettamente risolvibile e dà come risultato $x=0$ senza che nessuno abbia nulla da dire...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Riguardo alla 'sostituzione' fatta da me, non vi è nulla di 'alieno'. Se invece della $y$ consideri incognita la $x$ e ricordi la regola della derivazione della funzione inversa sarà...
$x'(y)=1/(y'(x))$ (1)
Se abbiamo l'equazione differenziale...
$y'=pi/(2x)$ (2)
... facendo l'inverso del primo e secondo membro e riarragiando un poco si ottiene...
$x'-2/pi*x=0$ (3)
... e la condizione iniziale diviene $x(2)=-1$
La soluzione della (3) [equazione lineare e 'incompleta'...], a differenza della (2) non presenta problemi nè 'trabocchetti'. L'integrale generale è...
$x= c*e^(2/pi*y)$ (4)
... la quale con la condizione $x(2)=-1$ diviene...
$x=-e^(-4/pi)*e^(2/pi*y)$ (5)
Naturalmente se si vuole $y$ in funzione di $x$ basta trovare la funzione inversa facendo il logaritmo del [valore assoluto del] primo termine e del secondo termine ottenendo con un paio di passaggi...
$y= pi/2*ln|x|+2$ (6)
A questo punto certamente mi chiederai a che cosa è servita la 'furbata'. Diciamo che la furbata è utile in pratica tutte le volte che, scritta l'equazione in forma 'canonica'...
$y'= f(x,y)$ (7)
... la $f(x,y)$ ha dei 'punti singolari' per certi valori di $x$. Nel nostro caso è $f(x,y)=pi/(2x)$ , quindi con una singolarità in $x=0$. Se allora la 'condizione iniziale' fosse stata diversa e magari del tipo $y(0)=$ 'qualche cosa', allora dovresti subito far suonare una 'sirena d'allarme'. Se però la stessa equazione è scritta nella forma (3) e la condizione iniziale è $x($qualche cosa$)=0$, essa è perfettamente risolvibile e dà come risultato $x=0$ senza che nessuno abbia nulla da dire...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
mmm...interessante...non l'avevo mai considerato sto ragionamento
grazie infinite
...anche del sostegno morale...faccio troppo spesso errori di distrazione o dimenticanze banali...
grazie infinite
"lupo grigio":
Bravissimo Dave!...
...anche del sostegno morale...faccio troppo spesso errori di distrazione o dimenticanze banali...
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