Semplice passaggio serie
ragazzi per voi sarà una cavolata, ma non riesco a capire i passaggi di questo esercizio
al primo passaggio da entrambe le serie porta fuori rispettivamente p e 2p in quanto non dipendenti dagli indici, contemporaneamente fa un cambio di indice nella seconda serie k=n-1; a questo punto però non mi spiego il $(1-2p)^k/(2p)$, perché c'è quel 2p al denominatore?
Inoltre non capisco l'ultimo passaggio, credo quell'espressione sia riconducibile ad una serie geometrica, non mi trovo però col risultato
al primo passaggio da entrambe le serie porta fuori rispettivamente p e 2p in quanto non dipendenti dagli indici, contemporaneamente fa un cambio di indice nella seconda serie k=n-1; a questo punto però non mi spiego il $(1-2p)^k/(2p)$, perché c'è quel 2p al denominatore?
Inoltre non capisco l'ultimo passaggio, credo quell'espressione sia riconducibile ad una serie geometrica, non mi trovo però col risultato
Risposte
Scometto che l'autore ha usato in qualche modo la somma della serie geometrica di ragione \(1-2p\)... Prova un po'. 
allora vediamo, per il primo "problema" ho cercato di fare così:
$\sum_{n=k+1}^\infty 2p(1-2p)^(n-1) = \sum_{k=1}^\infty 2p(1-2p)^k = (1-2p)^k/(2p) $
il 2p iniziale l'ho portato fuori e non l'ho tenuto in considerazione
dove nel risultato finale ho sfruttato che per la serie geometrica che non parte da 0 ma da un numero k è $ \sum_{n=k}^\infty x^k = x^k/(1-x) $
ho cercato di ragionare in modo analogo per il mio secondo "problema", riportandola al caso in cui k=0 e la somma è dunque $1/(1-x)$ ma mi ci perdo un p al denominatore, perché?
$\sum_{n=k+1}^\infty 2p(1-2p)^(n-1) = \sum_{k=1}^\infty 2p(1-2p)^k = (1-2p)^k/(2p) $
il 2p iniziale l'ho portato fuori e non l'ho tenuto in considerazione
dove nel risultato finale ho sfruttato che per la serie geometrica che non parte da 0 ma da un numero k è $ \sum_{n=k}^\infty x^k = x^k/(1-x) $
ho cercato di ragionare in modo analogo per il mio secondo "problema", riportandola al caso in cui k=0 e la somma è dunque $1/(1-x)$ ma mi ci perdo un p al denominatore, perché?
Hai:
\[
\begin{split}
\sum_{n=k+1}^\infty 2p\ (1-2p)^{n-1} &\stackrel{m=n-k-1}{=} 2p\ \sum_{m=0}^\infty (1-2p)^{m+k} \\
&= 2p\ (1+2p)^k\ \sum_{m=0}^\infty (1-2p)^m \\
&= 2p\ \frac{(1-2p)^k}{2p} \\
&= (1-2p)^k
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\sum_{k=1}^\infty p\ (1-p)^{k-1} \sum_{n=k+1}^\infty 2p\ (1-2p)^{n-1} &= p\ \sum_{k=1}^\infty (1-p)^{k-1}\ (1-2p)^k \\
&\stackrel{h=k-1}{=} p\ (1-2p)\ \sum_{h=0}^\infty \Big( (1-p)\ (1-2p)\Big)^h \\
&= \frac{p\ (1-2p)}{1-(1-p)\ (1-2p)} \\
&= \frac{1-2p}{3-2p}
\end{split}
\]
come nel testo... Ovviamente sempre supponendo che \(|1-p|,|1-2p|<1\) (altrimenti la serie geometrica non converge).
\[
\begin{split}
\sum_{n=k+1}^\infty 2p\ (1-2p)^{n-1} &\stackrel{m=n-k-1}{=} 2p\ \sum_{m=0}^\infty (1-2p)^{m+k} \\
&= 2p\ (1+2p)^k\ \sum_{m=0}^\infty (1-2p)^m \\
&= 2p\ \frac{(1-2p)^k}{2p} \\
&= (1-2p)^k
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\sum_{k=1}^\infty p\ (1-p)^{k-1} \sum_{n=k+1}^\infty 2p\ (1-2p)^{n-1} &= p\ \sum_{k=1}^\infty (1-p)^{k-1}\ (1-2p)^k \\
&\stackrel{h=k-1}{=} p\ (1-2p)\ \sum_{h=0}^\infty \Big( (1-p)\ (1-2p)\Big)^h \\
&= \frac{p\ (1-2p)}{1-(1-p)\ (1-2p)} \\
&= \frac{1-2p}{3-2p}
\end{split}
\]
come nel testo... Ovviamente sempre supponendo che \(|1-p|,|1-2p|<1\) (altrimenti la serie geometrica non converge).
grazie mille gugo per la pazienza 
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