Semplice passaggio logico (integrali)

[Plinio78]

Sto studiando una dimostrazione e, senza portarla per le lunghe, vi riporto delle relazioni seguite dal passaggio che non mi è chiaro:

Posto:
\( [c,d]\subset [a,b] \) ,
\( d-c<\varepsilon \)
$ S_D-s_D \( M= \sup_[a,b] |f| \) ,
\( D=[a,c]\cup [d,b] \) ,
\( D'=[a,c]\cup [c,d]\cup [d,b] \)


il passaggio finale è:
\( S_(D')-s_(D')=S_D-s_D+(sup_[c,d]f - inf_[c,d]f)(d-c)<\varepsilon (1+2M) \)

Non capisco il perché di quella parentesi finale. Secondo me dovrebbe esserci solo \( \varepsilon \), la quantità in parentesi dovrebbe valere 1.

[dissonance]

Quindi tu stai dicendo che in un intervallo \(I\) (nel tuo caso \(I=[c, d]\))
\[
\sup_I f-\inf_I f \le 1.\]
Questo non è vero: prendi la funzione
\[
f(x)=\begin{cases} M, & x>0 \\ 0, &x=0 \\ -M, & x<0.\end{cases}\]
Se \(0\) è nell'interno di \(I\) (ovvero, se \(I=[a, b]\) con \(a<0, b>0\)) allora
\[
\sup_I f-\inf_I f = M+M=2M. \]
In generale è sempre vero che \(\sup_I f- \inf_I f\le 2M\), posto che \(M=\sup_I |f|\). Infatti \(\sup_I f\le M, \inf_I f \ge - M\).

[ot]Questa domanda mi è piaciuta, qui si che fai bene ad andare al sodo senza troppi fronzoli.[/ot]

[Plinio78]

Ora è chiaro! Ti ringrazio