Semplice limite con Taylor
$ (e^x-e^sinx)/(xln(1+x)-x^2) $
Non riesco a trovarmi con il risultato di questo limite (-1/3) da risolvere con Taylor.
Mi sono fermata al terzo grado e ho ottenuto 2/3. Ho riprovato fermandomi al quarto e al quinto ma non è andata meglio.
È sicuramente dovuto al fatto che ho ancora qualche dubbio sulla risoluzione di limiti con Taylor.
C'è un modo per capire fino a che grado conviene fermarsi?
E se, per esempio, sviluppassi e^x fino al terzo grado, dovrei sviluppare anche tutte le altre funzioni fino al terzo grado?
Non riesco a trovarmi con il risultato di questo limite (-1/3) da risolvere con Taylor.
Mi sono fermata al terzo grado e ho ottenuto 2/3. Ho riprovato fermandomi al quarto e al quinto ma non è andata meglio.
È sicuramente dovuto al fatto che ho ancora qualche dubbio sulla risoluzione di limiti con Taylor.
C'è un modo per capire fino a che grado conviene fermarsi?
E se, per esempio, sviluppassi e^x fino al terzo grado, dovrei sviluppare anche tutte le altre funzioni fino al terzo grado?
Risposte
Un "trucco" (non è una tecnica, attenzione) è vedere quale tra numeratore e denominatore è più semplice da trattare e sviluppare l'altro di conseguenza; se lo sviluppo è fatto bene non deve rimanerti un o-piccolo da solo.
Per esempio, qui si vede subito che la $x$ che moltiplica il logaritmo causerà l'alzamento di un grado di tutti i termini dello sviluppo del logaritmo; perciò succederà questo
$$x \ln(1+x) -x^2=x \left[x-\frac{x^2}{2}+o(x^2) \right]-x^2=-\frac{x^3}{2}+o(x^3)$$
Di conseguenza al numeratore non avrà senso andare oltre al termine cubico negli sviluppi (se sai già che dovrà venire un limite finito) però attenzione perché potrebbero spuntare dei termini cubici "nascosti" dati da eventuali prodotti notevoli.
Se al numeratore ti si dovesse annullare tutto e rimanesse soltanto l'o-piccolo, significherebbe che non hai sviluppato abbastanza.
Di contro, se hai sviluppato troppo la situazione è recuperabile in quanto i termini di grado più alto saranno o-piccolo dei termini di grado più basso e dunque potrai compattare tutto in un unico o-piccolo.
Venendo alle tue domande: dipende sempre dal caso, qui devi sviluppare $e^x$ fino al terzo ordine perché prima si cancella tutto e rimane l'o-piccolo, inoltre $e^x$ ha un termine cubico che è quindi rilevante per il risultato del limite in questo caso.
Se hai altri dubbi chiedi pure!
Ti confermo che anche a me il limite viene $-\frac{1}{3}$.
Per esempio, qui si vede subito che la $x$ che moltiplica il logaritmo causerà l'alzamento di un grado di tutti i termini dello sviluppo del logaritmo; perciò succederà questo
$$x \ln(1+x) -x^2=x \left[x-\frac{x^2}{2}+o(x^2) \right]-x^2=-\frac{x^3}{2}+o(x^3)$$
Di conseguenza al numeratore non avrà senso andare oltre al termine cubico negli sviluppi (se sai già che dovrà venire un limite finito) però attenzione perché potrebbero spuntare dei termini cubici "nascosti" dati da eventuali prodotti notevoli.
Se al numeratore ti si dovesse annullare tutto e rimanesse soltanto l'o-piccolo, significherebbe che non hai sviluppato abbastanza.
Di contro, se hai sviluppato troppo la situazione è recuperabile in quanto i termini di grado più alto saranno o-piccolo dei termini di grado più basso e dunque potrai compattare tutto in un unico o-piccolo.
Venendo alle tue domande: dipende sempre dal caso, qui devi sviluppare $e^x$ fino al terzo ordine perché prima si cancella tutto e rimane l'o-piccolo, inoltre $e^x$ ha un termine cubico che è quindi rilevante per il risultato del limite in questo caso.
Se hai altri dubbi chiedi pure!
Ti confermo che anche a me il limite viene $-\frac{1}{3}$.
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