Semplice limite... all'apparenza
Qualcuno è in grado di spiegarmi come questo limite tende semplicemente ad "e" ??
ho allegato l'immagine... Grazie
ho allegato l'immagine... Grazie
Risposte
Raccogli $e x$ e togli il modulo (tanto se $x$ tende a $+\infty$ e` positivo) e ottieni
\[ \displaystyle ex(e^{\frac{x-1}{x-2}-1}-1)=ex(e^{\frac{1}{x-2}}-1)=ex\frac{(e^{\frac{1}{x-2}}-1)}{\frac{1}{x-2}} \frac{1}{x-2}\].
Ora, se $x$ tende a $+\infty$, in virtu` del limite notevole per l'esponenziale il termine centrale tende a $1$, e anche $x/(x-2)$ tende ad $1$.
\[ \displaystyle ex(e^{\frac{x-1}{x-2}-1}-1)=ex(e^{\frac{1}{x-2}}-1)=ex\frac{(e^{\frac{1}{x-2}}-1)}{\frac{1}{x-2}} \frac{1}{x-2}\].
Ora, se $x$ tende a $+\infty$, in virtu` del limite notevole per l'esponenziale il termine centrale tende a $1$, e anche $x/(x-2)$ tende ad $1$.
Scusami ma non ho capito bene da dove esce la frazione "1/(x-2) " ... che tra l'altro viene moltiplicata subito dopo...
oppure più semplicemente una volta che arrivi qui \(\displaystyle ex(e^{\frac{1}{x-2}}-1) \)
siccome per \(\displaystyle x\rightarrow +\infty \frac{1}{x-2} \sim \frac{1}{x}\)
scrivi \(\displaystyle ex(e^{\frac{1}{x}}-1)\sim ex \left(\frac{1}{x}\right)= e \) per \(\displaystyle x\rightarrow +\infty \)
siccome per \(\displaystyle x\rightarrow +\infty \frac{1}{x-2} \sim \frac{1}{x}\)
scrivi \(\displaystyle ex(e^{\frac{1}{x}}-1)\sim ex \left(\frac{1}{x}\right)= e \) per \(\displaystyle x\rightarrow +\infty \)
$(x-1)/(x-2)-1$ può essere riscritto come $1/(x-2)$...
Quindi sapendo che $lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$ cerchiamo di ricondurci a questo limite notevole ( per ora ci occupiamo solo di questo $(e^(1/(x-2))-1)/(1/(x-2))$:
$(e^(1/(x-2))-1)/(1/(x-2))*1/(x-2)$
In realtà non abbiamo cambiato il limite perché se fai un po di moltiplicazioni ti torna il limite di partenza:
Adesso se poniamo $t=1/(x-2)$, per $x->+infty$ abbiamo che $t->0$, quindi:
$lim_(t->o) (e^t-1)/t=1$ da cui segue che:
$lim_(x->+infty) (e^(1/(x-2))-1)/(1/(x-2))=1$
Quindi tornando al limite di partenza:
$lim_(x->+infty) ex(e^(1/(x-2))-1)/(1/(x-2))*1/(x-2)$
Abbiamo detto che la parte al centro è $1$ quindi ci rimane:
$lim_(x->+infty) ex*1/(x-2)$
$lim_(x->+infty) e*(x/(x-2))=e$
Quindi il limite di partenza tende effettivamente ad $e$ come hanno già detto in 2 prima di me ( in realtà ho solo provato a spiegarti la soluzione di lucia13)
Quindi sapendo che $lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$ cerchiamo di ricondurci a questo limite notevole ( per ora ci occupiamo solo di questo $(e^(1/(x-2))-1)/(1/(x-2))$:
$(e^(1/(x-2))-1)/(1/(x-2))*1/(x-2)$
In realtà non abbiamo cambiato il limite perché se fai un po di moltiplicazioni ti torna il limite di partenza:
Adesso se poniamo $t=1/(x-2)$, per $x->+infty$ abbiamo che $t->0$, quindi:
$lim_(t->o) (e^t-1)/t=1$ da cui segue che:
$lim_(x->+infty) (e^(1/(x-2))-1)/(1/(x-2))=1$
Quindi tornando al limite di partenza:
$lim_(x->+infty) ex(e^(1/(x-2))-1)/(1/(x-2))*1/(x-2)$
Abbiamo detto che la parte al centro è $1$ quindi ci rimane:
$lim_(x->+infty) ex*1/(x-2)$
$lim_(x->+infty) e*(x/(x-2))=e$
Quindi il limite di partenza tende effettivamente ad $e$ come hanno già detto in 2 prima di me ( in realtà ho solo provato a spiegarti la soluzione di lucia13)
a mio parere è più breve e semplice con l'asintotico!..va bé va bene anche quest'altro metodo!..
"21zuclo":
a mio parere è più breve e semplice con l'asintotico!..va bé va bene anche quest'altro metodo!..
Ma si, è che non aveva chiara la prima soluzione cosi ho provato a spiegarla passo per passo
Di certo al mio prossimo appello di analisi non mi metterò ad usare i limiti notevoli se c'è una strada più breve
Ma con la regola degli infinitesimi visto che la "e" è un esponenziale e quindi e più veloce della x avrei potuto dire subito che tendeva ad "e"? Scusate la mia ignoranza...
Ad esempio questo è molto simile e dovrebbe fare -1/e ... ma non riesco a capire come... ogni volta che trovo il valore assoluto trovo difficoltà...
"valentix":
Ma con la regola degli infinitesimi visto che la "e" è un esponenziale e quindi e più veloce della x avrei potuto dire subito che tendeva ad "e"? Scusate la mia ignoranza...
No, se provi a sostituire sei nella forma $+infty-infty$.. che è ovviamente indeterminata
Abbiamo:
$lim_(x->-infty) (x*e^(|x-1|/(x-2))-x/e)$
Hai detto che il tuo problema è il valore assoluto.. Allora prendiamo $|x-1|$ ed usiamo la definizione per scriverlo in una forma più comoda:
$|x-1|={(x-1,if x>=1), (-(x-1),if x<1):}$
Noi abbiamo $x->-infty$ quindi dobbiamo prendere quella che vale per $x<1$ quindi il nostro limite è:
$lim_(x->-infty) (x*e^(-(x-1)/(x-2))-x/e)$
Da qui è molto simile all'altro quindi dovresti concludere
Giustoooo GRAZIE MILLE!
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