Semplice integrale triplo. Andamento di z.

[thiezar87]

Ho questo semplice integrale triplo ma ho un dubbio sull'andamento di z.
$ int int int_D x^2z dx dy dz $
$ D={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2+z^2 <= 4, z >= sqrt(x^2+y^2) } $

In pratica il dominio è l'intersezione tra una sfera di raggio 2 centrata nell'origine e un paraboloide.

Ora dato che mi trovo in difficoltà a passare in coordinate cilindriche vorrei passare in coordinate sferiche.

$ { ( x=r*cos(t)sen(q) ),( y=r*sen(t)sen(q) ),( z=r*cos(q) ):} $

dove $ 0<=r<=2 $, $ 0<=t<=2pi $

$ q $ tra quali valori è compreso?

[ciampax]

Paraboloide? A me sembra un cono! Per la precisione il cono di vertice l'origine, nel semispazio positivo rispetto a $z$ avente come direttrici le rette che formano un angolo di $\pi/4$ con l'asse $z$. E secondo me le coordinate cilindriche sono più semplici da usare in questo caso.

[thiezar87]

Oddio! E' un cono! Pardon, non ho proprio fatto caso al segno di radice.
Quindi -pi/4$<= q<= pi/4$?

In realtà non mi sono per niente esercitato con le coordinate cilindriche. Si usa l'integrazione per fili paralleli all'asse z vero? (è questo che trovo più complicato perchè con le coordinate sferiche la trasformazione dell'integrale è immediata)

[ciampax]

Le disequazioni diventano [tex]$r^2\le 4,\ r\cos(q)\ge r\sin(q)$[/tex], pertanto mi pare che tu debba risolvere la disequazione [tex]$\sin q-\cos q\le 0$[/tex] o equivalentemente [tex]$\cos q(\tan q-1)\le 0$[/tex]. Considera però, come ti dicevo, che essendo $z$ maggiore di una radice (che ha sempre segno positivo) dovrai restringere la scelta di $q$ all'intervallo $[0,\pi/2]$ e quindi risolvere la precedente disequazione su questo intervallo. Visto che il coseno risulta sempre positivo, allora dovrà essere $\tan q\le 1$ e quindi $0\le q\le\pi/4$. In definitiva il nuovo dominio è

[tex]D'=\left\{0\le\rho\le 2,\ 0\le p\le 2\pi,\ 0\le q\le\frac{\pi}{4}\right\}$[/tex]