Semplice integrale triplo

[Sk_Anonymous]

ho questo integrale triplo:

$intintint_Omega zdxdydz$ dove $Omega$ è il tetraedro di vertici (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

$Omega$ può essere scritto come dominio semplice rispetto all'asse z: il piano passante per i punti (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) è di equazione $x+y+z=1

$Omega={(x,y,z) in RR^3 : 0<=z<=1-x-y , x,y in [0,1]}

perciò $intintint_Omegazdxdydz=intint_([0,1]xx[0,1])(int_0 ^(1-x-y)zdz)dxdy=....=-1/12

ma il risultato corretto è 1/24

[Sk_Anonymous]

ah un altro piccolo problema:
sia dato $Omega={(x,y,z) : x^2+y^2<=z<=3-2y}

$intintint_Omega 1dxdydz=intint_E (int_(x^2+y^2) ^(3-2y)dz)dxdy

non riesco a determinare l'insieme E: cioè secondo me è la proiezione sul piano xy dell'intersezione delle funzioni $x^2+y^2 $ e $3-2y
grazie anticipatamente a chi mi risponderà

[MaMo2]

"NOKKIAN80":....
$Omega={(x,y,z) in RR^3 : 0<=z<=1-x-y , x,y in [0,1]}
...

Per me l'errore sta qui.
Infatti dovrebbe essere:

$Omega={(x,y,z) in RR^3 : 0<=z<=1-x-y, 0<=x<=1-y, y in [0,1]}

[MaMo2]

"NOKKIAN80":
...non riesco a determinare l'insieme E: cioè secondo me è la proiezione sul piano xy dell'intersezione delle funzioni $x^2+y^2 $ e $3-2y
grazie anticipatamente a chi mi risponderà

La funzione $x^2+y^2+2y-3=0$ è una circonferenza di centro (0; -1) e raggio 2.

[Sk_Anonymous]

ok ci sono! chissà perchè non mi aspettavo che si proiettasse automaticamente sul piano z=0