Semplice integrale per sostituzione

[Berker]

Calcolare $$\int \sqrt{1+e^t}dt$$



Allora, ponendo $x=\sqrt{1+e^t}$ (suggerito dal mio prof), si ha $dt=\frac{2x}{x^2 -1} dx$ e quindi l'integrale diventa $\int \frac{2x^2}{x^2 -1} dx$ .

Ora però come vado avanti? Non vedo nessuna funzione elementare e pur provando con l'integrazione per parti non cavo nulla.
Potreste darmi un hint? (No soluzioni please)

[pilloeffe]

Ciao Berker,

$ int frac{2x^2}{x^2 -1} dx = 2 int \frac{x^2}{x^2 -1} dx = 2 int frac{x^2 - 1 + 1}{x^2 - 1} dx = 2 int dx + int frac{2}{(x -1)(x + 1)} dx $

Ora dovresti riuscire ad andare avanti...

[Berker]

Grazie! Ora l'ho risolto

[dissonance]

@Berker: Hai fatto il 90% del lavoro con quella sostituzione, e poi ti sei bloccato proprio sulla parte facile. L'integrale di una funzione razionale si può sempre calcolare, con un procedimento algoritmico, lo può fare anche una macchina.