Semplice integrale indefinito...che non vuole venire

[angus89]

$int 1/(a^2-x^2) dx $
$int 1/((a+x)(a-x)) dx $
Con il principio di equivalenza fra polinomi
$1/((a+x)(a-x)) =A/(a+x) + B/(a-x) $
da cui mi trovo
$A=B=1/(2a)$
quindi
$int 1/((a+x)(a-x)) dx =1/(2a) int 1/(a+x) dx + 1/(2a) int 1/(a-x) dx$
da cui mi ricavo
$1/(2a) log|(a+x)(a-x)|+C$

Invece il mio testo mi dice che devo ottenere
$1/(2a) log|(a+x)/(a-x)|+C$

Cosa sbaglio?

[Nikilist]

$int 1/(a-x) dx=-1*int -1/(a-x) dx=-1*int 1/t dt=-lnt=-ln(a-x)$

[_Tipper]

Una primitiva di $\frac{1}{a-x}$ è $-\ln(|a-x|)$.

[Sk_Anonymous]

$int(1/(a^2-x^2))dx=$
Basta porre $x=a\ sent$ da cui $dx = a cost\ dt$; l'integrale diventa:
$int(1/(a^2-a^2sen^2t))a\ cost\ dt=$
$int(1/(a^2(1-sen^2t)))a\ cos\ dt=$
$1/a\ int(1/cos^2t)cost\ dt=$
$1/a\ int1/costdt$
Ora questo integrale necessita di un'ulteriore sostituzione (tralascio la costante $1/a$):
$int1/costdt = int1/(sqrt(1-sen^2t))$ ponendo $sent= u$ si ha: $cost dt= du$
$dt=(du)/(sqrt(1-u^2))$
$int1/costdt=>int1/(sqrt(1-u^2))*1/(sqrt(1-u^2))=int1/(1-u^2)du$
$1/(1-u^2)=A/(1+u)+B/(1-u)=...$ bla....bla...bla... Si ottiene, infine
${(A+B=1),(B-A=0):}$, da cui $A=B=1/2$, perciò:
$1/(1-u^2)=1/(2(1+u))+1/(2(1-u))$ e l'integrale è diventato:
$1/(2a)int(1/(1+u)+1/(1-u))du=1/(2a)(ln(1+u)-ln(1-u))=1/(2a)\ ln((1+u)/(1-u))=1/(2a)\ ln((1+sen t)/(1-sen t))$
e sostituendo infine $sen t$ con $x/a$ si ricava: $1/(2a)\ ln((1+x/a)/(1-x/a))=1/(2a)\ ln((a+x)/(a-x))+C$

[Nikilist]

Giustissima per carità, ma un po' masochistica a mio parere... Fai un giro enorme e neanche tanto scontato e l'ultimo terzo è la risoluzione più semplice in cui ti complichi ulteriormente la vita...