Semplice integrale
come si fa a fare il seguente integrale?
int(senx/x*dx) grazie a tutti...
int(senx/x*dx) grazie a tutti...
Risposte
Non si risolve analiticamente!
Per una integrazione numerica della funzione senx/x vedi:
www.matematicamente.it/analisi/integralseno.htm
www.matematicamente.it/analisi/integralseno.htm
mmm...io non ci riesco...e neanche derive...che non sia integrabile elementarmente?...nn saprei...
appunto..[;)]
SEMPLICE INTEGRALE??? COL CAVOLO! [:D]
sembrava tanto banale...
siccome io avrei bisogno dell'integrale definito da a a +infinito
con la serie non riesco a dire il vale di tale integrale...o sbaglio?
siccome io avrei bisogno dell'integrale definito da a a +infinito
con la serie non riesco a dire il vale di tale integrale...o sbaglio?
se l'integrale è fra a e +inf non è definito, è improprio...
il mio professore non l'ha svolto e ha scritto che fa pigreco/2
Un modo elegante c'è:
Vuoi calcolare l'area di sin(x)/x. Cioè ti basta calcolare la trasformata di fourier in f=0.
La trasformata di fourier di sin(x)/x=sinc(x/pi) è pi*rect(pi*f) che per f=0 vale pi greco. L'integrale tra 0 e + infinito vale le metà essendo il sinc pari e ottieni pi/2.
Vuoi calcolare l'area di sin(x)/x. Cioè ti basta calcolare la trasformata di fourier in f=0.
La trasformata di fourier di sin(x)/x=sinc(x/pi) è pi*rect(pi*f) che per f=0 vale pi greco. L'integrale tra 0 e + infinito vale le metà essendo il sinc pari e ottieni pi/2.
Non c'è dubbio che l'integrale definito tra 0 e +inf. di : sinx/x è : pi/2.
Se però uso la formula numerica descritta in
https://www.matematicamente.it/analisi/integralseno.htm
ottengo che per x che tende a+ inf. la somma diverge.
La formula è infatti : S(t)= t-t^3/(3!3)+t^5/(5!5)+......e per t che tende a +inf diverge.
Dove sta il baco ?
Camillo
Se però uso la formula numerica descritta in
https://www.matematicamente.it/analisi/integralseno.htm
ottengo che per x che tende a+ inf. la somma diverge.
La formula è infatti : S(t)= t-t^3/(3!3)+t^5/(5!5)+......e per t che tende a +inf diverge.
Dove sta il baco ?
Camillo
bisogna controllare i vari criteri... comunque probabilmente non puoi scambiare la serie con l'integrale
Penso anch'io che il problema sia del tipo che dici : chi ha compilato quella nota su integralseno dovrebbe rivederla.
Camillo
Camillo
Mi aggiungo al coro (anche se sono stonato
e lo risolvo numericamente).
Il risultato e' ca. 3,55. (Mi sarei aspettato PI)
e lo risolvo numericamente).
Il risultato e' ca. 3,55. (Mi sarei aspettato PI)
si parla del doppio dell'integrale da o a +inf:
e, con le tue stesse espressioni ma con altri mezzi (un loop in basic), viene circa PI (~3,13)
come mai?
tony
quote:
... Il risultato e' ca. 3,55. (Mi sarei aspettato PI) [g.schgor]
e, con le tue stesse espressioni ma con altri mezzi (un loop in basic), viene circa PI (~3,13)
come mai?
tony
Gia'. Me lo sono chiesto anch'io.
E nel frattempo ho concluso che la
particolare funzione ad oscillazioni
smorzate, non gradisce l'integrazione
rettangolare.
Ho quindi riprovato con queste varianti:
- data la simmetria della funzione, calcolo
solo la parte positiva di x (raddoppiando
poi alla fine)
- aumento il numero di iterazioni (N)
- ma soprattuttio uso l'algoritmo di
integrazione trapezioidale.
Il risultato ora torna.
E nel frattempo ho concluso che la
particolare funzione ad oscillazioni
smorzate, non gradisce l'integrazione
rettangolare.
Ho quindi riprovato con queste varianti:
- data la simmetria della funzione, calcolo
solo la parte positiva di x (raddoppiando
poi alla fine)
- aumento il numero di iterazioni (N)
- ma soprattuttio uso l'algoritmo di
integrazione trapezioidale.
Il risultato ora torna.
dicendo che mi era venuto correttamente circa PI "con le tue stesse espressioni",
avevo tralasciato un particolare forse non irrilevante:
nella mia routine, per evitar le noie di una divisione per zero, avevo
"messo un tappo" nel buco che la funzione ha per x=0, in questo modo:
IF xn = 0 THEN yn = 1 ELSE yn = SIN(xn) / xn
invece mi sembra che nella tua prova ad integrazione rettangolare tu lasci calcolare sin(0)/0;
come si comporta il tuo software con quei valori?
forse è qui l'inghippo, la causa del tuo abnorme 3,55 invece di 3,14;
prova a modificare quella routine in questo senso.
inoltre tu dici
su questo non sono affatto d'accordo: con le mie prove i risultati dei due metodi differiscono, ma non di molto;
in più c'è da dire che nella tua prima prova, applicando il tuo metodo a rettangoli ad una funzione pari e quindi simmetrica rispetto all'asse y, gli errori in eccesso che si verificavano a destra su un tratto di curva decrescente si compensavano largamente con quelli in difetto sul simmetrico tratto crescente (e viceversa), e il risultato era "di ottima qualità" (uno schizzo ti convince immediatamente).
con la funzione asimmetrica, ovviamente, le differenze tra i due metodi aumentano, ma, ripeto, non di molto.
son curioso di sentire il risultato del "tappo" su x=0 nella tua prima integrazione, tra -30 e + 30.
(se non viene come dovrebbe, il mistero si infittisce!)
tony
avevo tralasciato un particolare forse non irrilevante:
nella mia routine, per evitar le noie di una divisione per zero, avevo
"messo un tappo" nel buco che la funzione ha per x=0, in questo modo:
IF xn = 0 THEN yn = 1 ELSE yn = SIN(xn) / xn
invece mi sembra che nella tua prova ad integrazione rettangolare tu lasci calcolare sin(0)/0;
come si comporta il tuo software con quei valori?
forse è qui l'inghippo, la causa del tuo abnorme 3,55 invece di 3,14;
prova a modificare quella routine in questo senso.
inoltre tu dici
quote:
... E nel frattempo ho concluso che la
particolare funzione ad oscillazioni
smorzate, non gradisce l'integrazione
rettangolare. ... [g.schgor]
su questo non sono affatto d'accordo: con le mie prove i risultati dei due metodi differiscono, ma non di molto;
in più c'è da dire che nella tua prima prova, applicando il tuo metodo a rettangoli ad una funzione pari e quindi simmetrica rispetto all'asse y, gli errori in eccesso che si verificavano a destra su un tratto di curva decrescente si compensavano largamente con quelli in difetto sul simmetrico tratto crescente (e viceversa), e il risultato era "di ottima qualità" (uno schizzo ti convince immediatamente).
con la funzione asimmetrica, ovviamente, le differenze tra i due metodi aumentano, ma, ripeto, non di molto.
son curioso di sentire il risultato del "tappo" su x=0 nella tua prima integrazione, tra -30 e + 30.
(se non viene come dovrebbe, il mistero si infittisce!)
tony
A seguito delle osservazioni di tony, ho riesaminato
i programmi di integrazione numerica della fuzione in
questione. In effetti tony ha ragione.
Riprogrammando le 2 procedure, non ho trovato differenze
nei risultati (=3.136 in entrambi i casi, con un errore quindi
di circa il 2 per mille).
Non so proprio ricostruire da dove sia saltato fuori quel risultato
fasullo di 3.55 da me indicato nel primo caso (e che mi ha
indotto a provare con il secondo).
Me ne dispiace e mi scuso (pur se e’ stata un’occasione di
citare il metodo d’integrazione trapezia)
Anche la seconda osservazione e’ giusta, ma non e’ la causa
dell’errore precedente: per x=0, Mathcad calcola y=0 anziche’
=1, quindi va corretto assegnando y(3000)=1, ma questo
comporterebbe un errore dell’1/100 in meno (=3.126 , non 3.55).
Rimane il fatto che integrando da zero la sola parte positiva e poi
raddoppiando, si migliora la precisione.
Ringraziando quindi tony dell’attenta verifica, approfitto
dell’occasione per chiedergli cosa ne pensa lui dell’argomento
citato in “Matematica e Calcolatore”.
La mia intenzione era di fare un’indagine sull’impatto del
calcolatore nello studio della matematica (stato di diffusione
delle conoscenze sulle possibilita’ d’impiego e suo effettivo uso),
ma finora non ho raccolto granche’ e non capisco se sia utile
continuare.
G.Schgör
i programmi di integrazione numerica della fuzione in
questione. In effetti tony ha ragione.
Riprogrammando le 2 procedure, non ho trovato differenze
nei risultati (=3.136 in entrambi i casi, con un errore quindi
di circa il 2 per mille).
Non so proprio ricostruire da dove sia saltato fuori quel risultato
fasullo di 3.55 da me indicato nel primo caso (e che mi ha
indotto a provare con il secondo).
Me ne dispiace e mi scuso (pur se e’ stata un’occasione di
citare il metodo d’integrazione trapezia)
Anche la seconda osservazione e’ giusta, ma non e’ la causa
dell’errore precedente: per x=0, Mathcad calcola y=0 anziche’
=1, quindi va corretto assegnando y(3000)=1, ma questo
comporterebbe un errore dell’1/100 in meno (=3.126 , non 3.55).
Rimane il fatto che integrando da zero la sola parte positiva e poi
raddoppiando, si migliora la precisione.
Ringraziando quindi tony dell’attenta verifica, approfitto
dell’occasione per chiedergli cosa ne pensa lui dell’argomento
citato in “Matematica e Calcolatore”.
La mia intenzione era di fare un’indagine sull’impatto del
calcolatore nello studio della matematica (stato di diffusione
delle conoscenze sulle possibilita’ d’impiego e suo effettivo uso),
ma finora non ho raccolto granche’ e non capisco se sia utile
continuare.
G.Schgör
ragazzi ho quasi capito il perchè...domani vado dal professore e mi faccio spiegare il punto mancante, comunque si fa i teoremi per le funzioni complesse...
grazie, g. schgoer, di aver rifatto la prova!
il mistero sul 3.55 si è infittito e, a questo punto, rimarrà tale.
peccato ! il mettere a fuoco un errore di programma (mio o di qualcun altro) è stata per me una passione (e un lavoro) di una vita.
comunque rimane qualcosa da sgranocchiare sull'argomento e la aggiungerei qui, ma ho l'impressione che tutto questo ramo "numerico" della discussione esuli dal tema principale del thread.
quindi proporrei, se sei d'accordo, di spostare in blocco tutti i nostri msg sull'integrazione numerica, togliendoli di qui (dove lascerei un semplice rimando) e mettendoli in un nuovo thread che intitolerei ad es. "integraz. numerica 01" (e che comincerebbe con un brevissimo msg introduttivo per spiegare da dove proviene e di che si tratta.
questa "move" di messaggi non l'ho mai vista fare qui sul forum; forse per un moderatore è un compito facilissimo; per noi sarebbe possibile se procedessimo così:
fase 1 - io inauguro il "thread 2" con il messaggio di "cappello"
fase 2 - tu copi il tuo primo msg (quello del 03/03/2005 : 12:00:32) dal thread1 al thread2
constatato il completamento della tua operazione, io copio il successivo msg mio, e così di seguito, First-In First-Out
fase 3 - alla fine, ora in modo totalmente asincrono, io cancello i miei e tu cancelli i tuoi dal thread1.
l'operazione "copiare" consiste di:
apro il thread1 / leggo il msg in questione / select all / copy nel clipboard /
apro il thread2 / creo nuovo msg / paste / write
l'unica informazione che va persa è la data originale (a meno che, in uno generoso slancio, uno non la impasti a mano in testa al msg che sta copiando)
ci vorrà qualche giorno, per assicurare la correttezza del FIFO, ma nessuno ha fretta.
se ti va, caro Schgoer, fammi un fischio, e io eseguo la fase1
tony
P.S. certo che, se un moderatore ci dicesse che con un colpo di bacchetta magica può eseguire la "block move", basterebbe la fase1 !!!
il mistero sul 3.55 si è infittito e, a questo punto, rimarrà tale.
peccato ! il mettere a fuoco un errore di programma (mio o di qualcun altro) è stata per me una passione (e un lavoro) di una vita.
comunque rimane qualcosa da sgranocchiare sull'argomento e la aggiungerei qui, ma ho l'impressione che tutto questo ramo "numerico" della discussione esuli dal tema principale del thread.
quindi proporrei, se sei d'accordo, di spostare in blocco tutti i nostri msg sull'integrazione numerica, togliendoli di qui (dove lascerei un semplice rimando) e mettendoli in un nuovo thread che intitolerei ad es. "integraz. numerica 01" (e che comincerebbe con un brevissimo msg introduttivo per spiegare da dove proviene e di che si tratta.
questa "move" di messaggi non l'ho mai vista fare qui sul forum; forse per un moderatore è un compito facilissimo; per noi sarebbe possibile se procedessimo così:
fase 1 - io inauguro il "thread 2" con il messaggio di "cappello"
fase 2 - tu copi il tuo primo msg (quello del 03/03/2005 : 12:00:32) dal thread1 al thread2
constatato il completamento della tua operazione, io copio il successivo msg mio, e così di seguito, First-In First-Out
fase 3 - alla fine, ora in modo totalmente asincrono, io cancello i miei e tu cancelli i tuoi dal thread1.
l'operazione "copiare" consiste di:
apro il thread1 / leggo il msg in questione / select all / copy nel clipboard /
apro il thread2 / creo nuovo msg / paste / write
l'unica informazione che va persa è la data originale (a meno che, in uno generoso slancio, uno non la impasti a mano in testa al msg che sta copiando)
ci vorrà qualche giorno, per assicurare la correttezza del FIFO, ma nessuno ha fretta.
se ti va, caro Schgoer, fammi un fischio, e io eseguo la fase1
tony
P.S. certo che, se un moderatore ci dicesse che con un colpo di bacchetta magica può eseguire la "block move", basterebbe la fase1 !!!
Scusa, ma non ho tanto capito la proposta.
Per thread intendi topic? E perche' cancellare
le... puntate precedenti? Non si rischia di fare
un discorso limitato a noi due?
Cmq, essendo interessato a diffondere fra gli studenti
un uso piu' concreto del calcolatore, se tu
credi che cio' possa essere utile, proviamoci.
Segnalo, con l'occasione, che in questi giorni sto
cercando di fare un discorso generale ("Matematica
e Calcolatore") ed uno particolare sull'integrazione
di eq. differenziali del secondo ordine ("Massa e molla").
E sarei lieto se tu potessi darmi una mano.
Per thread intendi topic? E perche' cancellare
le... puntate precedenti? Non si rischia di fare
un discorso limitato a noi due?
Cmq, essendo interessato a diffondere fra gli studenti
un uso piu' concreto del calcolatore, se tu
credi che cio' possa essere utile, proviamoci.
Segnalo, con l'occasione, che in questi giorni sto
cercando di fare un discorso generale ("Matematica
e Calcolatore") ed uno particolare sull'integrazione
di eq. differenziali del secondo ordine ("Massa e molla").
E sarei lieto se tu potessi darmi una mano.
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