Semplice Funzione Integrale..primi dubbi
Ciao a tutti, sono ai primi esercizi sulle funzioni integrali..Ne ho svolto uno semplice, ma ho dei dubbi se l'esercizio è corretto o no. Controllate e ditemi se è giusto o no. Se avreste agito in maniera differente o se esite un modo più veloce, scrivetelo. Grazie in anticipo.
Sia $ F(x)= int_(1)^(x) (e^(\sqrt{t}))/(t) dt $
Determinare
1. Campo di esistenza, 2. limiti agli estremi del campo di esistenza, eventuali asintoti. 3. segno, crescere, decrescere. 4 disegnare un grafico qualitativo
ho provato a svolgere così
C.E.
$ f(t)=(e^(\sqrt{t}))/(t) $, il suo dominio è $ dom(f(t))=(0,+\infty) $
provo $ F(0)= \int_(1)^(0)(e^(\sqrt{t}))/(t)dt $ ma $ f(t)~ 1/t $ per $x\to 0$.. ma NON COVERGE!
quindi il dominio della funzione integrale è $ dom(F(x))=(0,+\infty) $
ok, ora faccio i limiti $ lim_(x -> 0)F(x)=lim_(x -> 0)int_(1)^(0) f(t) dt=-\infty $ (asintoto verticale)
qui per il limite tendente a infinito un dubbio, non se ho svolto bene la minorazione! Ditemi se è esatto..
$ lim_(x -> +\infty)F(x)=lim_(x -> +\infty) int_(1)^(x) (e^(\sqrt{t}))/(t) dt $
quindi devo dire se esiste finito $ int_(1)^(+\infty) (e^(\sqrt{t}))/(t) dt $, ma questo NON esite finito perchè
per $x\to +\infty$ si ha$ (e^(\sqrt{t}))/(t) \geq 1/t $ e la disuguaglianza (togliendo i denominatori) $e^(\sqrt{t})>1$ è verificata definitivamente.. quindi NON converge, anzi diverge!
Quindi l'integrale di partenza..DIVERGE!
potrebbe esistere asintoto obliquo e quindi faccio $ lim_(x -> +\infty) F'(x)=lim_(x -> +\infty)(e^(\sqrt{x}))/(x)=+\infty $
NO asintoto obliquo
Ora vedo che $F(1)=0$
$F(x)>0 \to x\in(1,+\infty)$ è positiva la funzione!, mentre è negativa in $x\in(0,1)$
derivata prima $ F'(x)= (e^(\sqrt{x}))/(x) $
$ F'(x)>0\to \forall x\in(0,+\infty) $ ..funzione sempre crescente..
derivata seconda (se ho fatto bene i conti) $ F''(x)=(e^(\sqrt{x})(\sqrt{x}-2))/(2x^2) $
si annulla in $x=4$
ed è concava in $x\in (4,+\infty)$.. quindi il punto $x=4$ è un flesso!
Ecco avendo messo tutte queste informazioni, ho tracciato il grafico.. qui non sono capace.. però è tutto corretto?
Sia $ F(x)= int_(1)^(x) (e^(\sqrt{t}))/(t) dt $
Determinare
1. Campo di esistenza, 2. limiti agli estremi del campo di esistenza, eventuali asintoti. 3. segno, crescere, decrescere. 4 disegnare un grafico qualitativo
ho provato a svolgere così
C.E.
$ f(t)=(e^(\sqrt{t}))/(t) $, il suo dominio è $ dom(f(t))=(0,+\infty) $
provo $ F(0)= \int_(1)^(0)(e^(\sqrt{t}))/(t)dt $ ma $ f(t)~ 1/t $ per $x\to 0$.. ma NON COVERGE!
quindi il dominio della funzione integrale è $ dom(F(x))=(0,+\infty) $
ok, ora faccio i limiti $ lim_(x -> 0)F(x)=lim_(x -> 0)int_(1)^(0) f(t) dt=-\infty $ (asintoto verticale)
qui per il limite tendente a infinito un dubbio, non se ho svolto bene la minorazione! Ditemi se è esatto..
$ lim_(x -> +\infty)F(x)=lim_(x -> +\infty) int_(1)^(x) (e^(\sqrt{t}))/(t) dt $
quindi devo dire se esiste finito $ int_(1)^(+\infty) (e^(\sqrt{t}))/(t) dt $, ma questo NON esite finito perchè
per $x\to +\infty$ si ha$ (e^(\sqrt{t}))/(t) \geq 1/t $ e la disuguaglianza (togliendo i denominatori) $e^(\sqrt{t})>1$ è verificata definitivamente.. quindi NON converge, anzi diverge!
Quindi l'integrale di partenza..DIVERGE!
potrebbe esistere asintoto obliquo e quindi faccio $ lim_(x -> +\infty) F'(x)=lim_(x -> +\infty)(e^(\sqrt{x}))/(x)=+\infty $
NO asintoto obliquo
Ora vedo che $F(1)=0$
$F(x)>0 \to x\in(1,+\infty)$ è positiva la funzione!, mentre è negativa in $x\in(0,1)$
derivata prima $ F'(x)= (e^(\sqrt{x}))/(x) $
$ F'(x)>0\to \forall x\in(0,+\infty) $ ..funzione sempre crescente..
derivata seconda (se ho fatto bene i conti) $ F''(x)=(e^(\sqrt{x})(\sqrt{x}-2))/(2x^2) $
si annulla in $x=4$
ed è concava in $x\in (4,+\infty)$.. quindi il punto $x=4$ è un flesso!
Ecco avendo messo tutte queste informazioni, ho tracciato il grafico.. qui non sono capace.. però è tutto corretto?
Risposte
Ho dato una veloce scorsa, più o meno sembra tutto ok. Un paio di note:
1) Per il limite a \(+\infty\), è inutile che tu faccia la maggiorazione: la tua funzione non è nemmeno infinitesima, cosa ti aspetti che faccia il suo integrale??
2) [Probabilmente un refuso] \(F\) è convessa in \((4,+\infty)\).
1) Per il limite a \(+\infty\), è inutile che tu faccia la maggiorazione: la tua funzione non è nemmeno infinitesima, cosa ti aspetti che faccia il suo integrale??
2) [Probabilmente un refuso] \(F\) è convessa in \((4,+\infty)\).
"Raptorista":
Ho dato una veloce scorsa, più o meno sembra tutto ok. Un paio di note:
1) Per il limite a \(+\infty\), è inutile che tu faccia la maggiorazione: la tua funzione non è nemmeno infinitesima, cosa ti aspetti che faccia il suo integrale??
2) [Probabilmente un refuso] \(F\) è convessa in \((4,+\infty)\).
una coa per la nota 1.. quindi una condizione necessaria ma NON sufficiente a garantire la convergenza dell'integrale improprio di seconda specie è che la funzione integranda tenda a zero? Come diciamo quel teorema per le serie numeriche.. è esatto? Perchè sul mio testo non c'è scritto questo teorema o corollario..ed è per questo che maggiorato quella funzione integranda!..
riguardo la convessità/concavità.. l'avevo scritto male qui..ma sul foglio dove ho fatto l'esercizio l'avevo scritto giusto XD
"21zuclo":
Perchè sul mio testo non c'è scritto questo teorema o corollario..ed è per questo che maggiorato quella funzione integranda!
Non c'è scritto perché più che di teoremi si tratta di buon senso!
Se integri su un intervallo illimitato, significa che vai avanti indefinitamente a sommare delle quantità; se tali quantità crescono sempre più, non c'è speranza che la somma sia limitata! Non ti pare??
[E comunque, ti basta pensare all'analogo teorema per le serie numeriche].
ah ok va bene grazie!... per cui la prox volta.. vedrò anche il limite a più infinito della funzione integranda.. se questa tende a $\pm \infty$ di certo l'integrale improprio di seconda specie..NON converge!
grazie
grazie
O anche se non tende a zero.
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