Semplice equazione trigonometrica
Buongiorno, non nascondo che mi trovo in leggero imbarazzo a fare una domanda del genere, ma purtroppo ho un problema con un'equazione trigonometrica molto semplice in cui mi sono imbattuto in un corso di mecanica razionale. Al mio professore viene un risultato, ma io non riesco a capire come mai. Ecco l'equazione incriminata:
$"sin"(\varphi_2)="sin"(\varphi_1)$ con $\varphi_1 \in (-\pi,\pi]" et "\varphi_2 \in (-\pi,\pi]$
Secondo me nell'intervallo dato ci sono 2 soluzioni, date da quella banale $\varphi_1=\varphi_2$ e da $\varphi_1=\pi -\varphi_2$
Al mio professore invece vengono 3 soluzioni: $\varphi_1=\varphi_2$, $\varphi_1=\pi -\varphi_2$ e $\varphi_1=-\pi -\varphi_2$. Come vedete due sono identiche alle mie, ma la terza non so da dove viene fuori.
Forse il problema è che a differenza che in fisica 1, in meccanica razionale si considerano gli angoli orientati, ma rimane il fatto che in analisi matematica quando risolvevo queste equazioni ho sempre considerato gli angoli orientati, quindi non riesco proprio a capire dove sbaglio
Vi prego, illuminatemi!
$"sin"(\varphi_2)="sin"(\varphi_1)$ con $\varphi_1 \in (-\pi,\pi]" et "\varphi_2 \in (-\pi,\pi]$
Secondo me nell'intervallo dato ci sono 2 soluzioni, date da quella banale $\varphi_1=\varphi_2$ e da $\varphi_1=\pi -\varphi_2$
Al mio professore invece vengono 3 soluzioni: $\varphi_1=\varphi_2$, $\varphi_1=\pi -\varphi_2$ e $\varphi_1=-\pi -\varphi_2$. Come vedete due sono identiche alle mie, ma la terza non so da dove viene fuori.
Forse il problema è che a differenza che in fisica 1, in meccanica razionale si considerano gli angoli orientati, ma rimane il fatto che in analisi matematica quando risolvevo queste equazioni ho sempre considerato gli angoli orientati, quindi non riesco proprio a capire dove sbaglio
Vi prego, illuminatemi!
Risposte
Ciao, la terza soluzione la trovi cosiderando $varphi_1$ negativo.
Prova a disegnare gli angoli sulla circonferenza goniometrica: se $varphi_1$ è positivo, le soluzioni sono esattamente quelle che hai trovato tu, se è negativo hai la prima e la terza.
Prova a disegnare gli angoli sulla circonferenza goniometrica: se $varphi_1$ è positivo, le soluzioni sono esattamente quelle che hai trovato tu, se è negativo hai la prima e la terza.
Ci sto pensando su e la questione sembra più problematica di quanto all'inizio credessi: se considero $\varphi_1=\pi-varphi_2$ non ho problemi finchè $\varphi_2>=0$, ma se $\varphi_2<0$ esco dal mio intervallo. Stessa cosa per la soluzione che il mio professore ha trovato e che a me non veniva: se considero $\varphi_1=-\pi-varphi_2$ va tutto bene se $\varphi_2<=0$, ma esce dall'intervallo di validità quando $\varphi_2>0$
Forse bisognerebbe iniziare trovando le soluzioni per $\varphi_1, varphi_2 in RR$, e poi escludere quelle fuori dal mio intervallo
Forse bisognerebbe iniziare trovando le soluzioni per $\varphi_1, varphi_2 in RR$, e poi escludere quelle fuori dal mio intervallo
Forse bisognerebbe iniziare trovando le soluzioni per ϕ1,ϕ2∈ℝ
Certo, devi fare così. E' meno difficile di quanto non sembri, se ti fai un disegnino della circonferenza goniometrica.
Ho provato a fare i disegni e forse sono arrivato alla soluzione generale: in pratica considerando solo gli angoli da $0$ a $2\pi$ si trova subito che la relazione è verificata per $\varphi_1=\varphi_2$ o per $\varphi_1=\pi-\varphi_2$.
Quindi in generale per angoli qualunque risulta che la relazione è valida per $\varphi_1=\varphi_2 + 2k\pi$ o per $\varphi_1=(\pi-\varphi_2) +2kpi$, con $k in ZZ$.
A me sembra che tutto funzioni anche con gli angoli presi negativi, basta pensare che togliere a $\pi$ un angolo negativo è come aggiungere a $\pi$ lo stesso angolo preso positivamente. Quindi tenendo conto delle periodicità alla fine i conti mi quadrano.
Tu cosa ne dici? se è giusto dopo provo a cercare un modo per isolare le soluzioni nel mio intervallo
Quindi in generale per angoli qualunque risulta che la relazione è valida per $\varphi_1=\varphi_2 + 2k\pi$ o per $\varphi_1=(\pi-\varphi_2) +2kpi$, con $k in ZZ$.
A me sembra che tutto funzioni anche con gli angoli presi negativi, basta pensare che togliere a $\pi$ un angolo negativo è come aggiungere a $\pi$ lo stesso angolo preso positivamente. Quindi tenendo conto delle periodicità alla fine i conti mi quadrano.
Tu cosa ne dici? se è giusto dopo provo a cercare un modo per isolare le soluzioni nel mio intervallo
Esatto.
Ho fatto i grafici con mathematica, e confermano quello che credevo: a seconda che $\varphi_2$ sia positivo o negativo ho delle diverse soluzioni all'equazione.
Se $\varphi_2>=0$ le soluzioni in $(-\pi,\pi]$ sono $\varphi_1=\varphi_2 " aut " \varphi_1=\pi -\varphi_2$, invece se $\varphi_2<0$ le soluzioni in $(-\pi,\pi]$ sono $\varphi_1=\varphi_2 " aut " \varphi_1=-\pi -\varphi_2$.
Intendo dire che non ho 3 soluzioni nell'intervallo, ma DUE, che però cambiano a seconda del valore di $\varphi_2$.
Purtroppo non mi sembra sia possibile esprimere tutto con 2 risultati che vadano bene sempre, quindi dovrò studiare i tre casi separatamente, dico bene?
Se $\varphi_2>=0$ le soluzioni in $(-\pi,\pi]$ sono $\varphi_1=\varphi_2 " aut " \varphi_1=\pi -\varphi_2$, invece se $\varphi_2<0$ le soluzioni in $(-\pi,\pi]$ sono $\varphi_1=\varphi_2 " aut " \varphi_1=-\pi -\varphi_2$.
Intendo dire che non ho 3 soluzioni nell'intervallo, ma DUE, che però cambiano a seconda del valore di $\varphi_2$.
Purtroppo non mi sembra sia possibile esprimere tutto con 2 risultati che vadano bene sempre, quindi dovrò studiare i tre casi separatamente, dico bene?
Si si dici bene. Ma non ti angosciare troppo! 
La soluzione l'hai trovata e non è neanche scritta in una forma troppo brutta.
La soluzione l'hai trovata e non è neanche scritta in una forma troppo brutta.
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