Semplice equazione differenziale di TERZO grado...come procedere?

[Tricka90]

Ne sul web ne sul libro di testo trovo informazioni sulla risoluzione delle equazioni di terzo grado.
Sono alle prese con la seguente:
\(\displaystyle y'''-y=2x \)
innanzitutto ho ricavato:
\[\lambda^3-1=0\]
la cui soluzione è 1.
Ora però non so come procedere...
Devo semplicemente trovare la soluzione particolare col metodo di somiglianza? Ci ho provato con un polinomio ma purtroppo mi da sbagliato. Secondo WolframAlpha l'integrale generale include dei termini con seno e coseno, e non riesco a pensare a nessun metodo che mi porta a questo.
Grazie a chiunque mi darà una mano

[Plepp]

"Tricka90":
[...] equazioni di terzo ordine.
[...]
innanzitutto ho ricavato:
\[\lambda^3-1=0\]
la cui soluzione è 1.
[...]
Secondo WolframAlpha l'integrale generale include dei termini con seno e coseno, e non riesco a pensare a nessun metodo che mi porta a questo.

Del polinomio caratteristico devi determinare tutte le radici, anche quelle complesse non reali.

Nel tuo caso le radici di $P(\lambda)=\lambda^3-1$ sono
\[\lambda_1=1\qquad \lambda_2=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad \lambda_3=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]
Queste ti forniscono le tre soluzioni indipendenti
\[u_1(x)=e^x\qquad u_2(x)=e^{-x/2}\sin(\sqrt{3}x/2)\qquad u_3(x)=e^{-x/2}\cos(\sqrt{3}x/2)\]
e ottieni un integrale generale dell'omogenea associata alla tua equazione.

Per determinare una soluzione particolare dell'equazione completa potresti procedere col metodo di somiglianza, ma in questo caso non ne vale la pena: salta subito all'occhio che $\bar{u}(x)=-2x$ risolve l'equazione.

"Tricka90":Ne sul web ne sul libro di testo trovo informazioni sulla risoluzione

Dai un'occhiata qui

[Tricka90]

Ti ringrazio Plepp, ora è tutto molto più chiaro!
Ottime anche le dispense che mi hai linkato!
Solo una cosa adesso non riesco a capire: come hai fatto a trovare le due seguenti soluzioni?
\(\displaystyle \lambda_{2}=-1/2+i\sqrt{3}/2 \)
\(\displaystyle \lambda_{3}=-1/2-i\sqrt{3}/2 \)

A dire il vero ho anche problemi a risolvere l'omogenea associata in un altro esercizio, sempre di equazione differenziale del terzo ordine:
\(\displaystyle \lambda^{3}-6\lambda^{2}=0 \)
Ho provato a raccogliere a fattor comune ma ottengo solo due soluzioni, non tre, ed entrambe reali, senza componente immaginaria
\(\displaystyle \lambda^{2}(\lambda-6)=0 \)
\(\displaystyle \lambda_{1}=6 \)
\(\displaystyle \lambda_{2}=0 \)

[Plepp]

"Tricka90":
Solo una cosa adesso non riesco a capire: come hai fatto a trovare le due seguenti soluzioni?
\(\displaystyle \lambda_{2}=-1/2+i\sqrt{3}/2 \)
\(\displaystyle \lambda_{3}=-1/2-i\sqrt{3}/2 \)

Dato che $\lambda=1$ è radice di $P(\lambda)$, il polinomio $\lambda -1$ divide $P(\lambda)$; facendo la divisione hai
\[P(\lambda)=\lambda^3-1=(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+1)\]
Le altre radici di $P(\lambda)$ si ottengono quindi da
\[\lambda^2+\lambda+1=0\]

"Tricka90":
A dire il vero ho anche problemi a risolvere l'omogenea associata in un altro esercizio, sempre di equazione differenziale del terzo ordine:
\(\displaystyle \lambda^{3}-6\lambda^{2}=0 \)
Ho provato a raccogliere a fattor comune ma ottengo solo due soluzioni, non tre, ed entrambe reali, senza componente immaginaria

L'equazione $\lambda^2(\lambda-6)=0$, essendo di terzo grado, ha esattamente tre soluzioni[nota]Per il celeberrimo [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_dell'algebra]Teorema fondamentale dell'algebra[/url].[/nota] in $CC$ (e $RR\subseteq CC$: niente vieta che le soluzioni possano essere tutte reali). La radice $\lambda=0$ va contata due volte, perché si tratta di una radice doppia.

[Tricka90]

Perfetto, adesso ho capito tutto
Ti ringrazio, sei stato chiarissimo e gentilissimo