Semplice dominio (esponenziali e goniometria)
Buongiorno a tutti!
Mi trovo un attimo in imbarazzo vista la domanda ma se io mi trovo di fronte a questa funzione:
$f(x,y) = 3^((x^2 + sin(y))/(cos(xy)))$ per fare il dominio mi basta vedere che il $cos(xy)$ sia diverso da 0? o sbaglio?
Quindi $xy != pi/2 + kpi$ ?
Da qualche parte sbaglio per forza dato che il libro come soluzione mi da "è il complemento di un insieme finito nel piano reale" e avendo comunque una soluzione periodica il mio insieme non dovrebbe essere non finito?
Mi trovo un attimo in imbarazzo vista la domanda ma se io mi trovo di fronte a questa funzione:
$f(x,y) = 3^((x^2 + sin(y))/(cos(xy)))$ per fare il dominio mi basta vedere che il $cos(xy)$ sia diverso da 0? o sbaglio?
Quindi $xy != pi/2 + kpi$ ?
Da qualche parte sbaglio per forza dato che il libro come soluzione mi da "è il complemento di un insieme finito nel piano reale" e avendo comunque una soluzione periodica il mio insieme non dovrebbe essere non finito?
Risposte
Il procedimento è corretto. L'insieme su cui $f(x,y)$ non è definita è un fascio di iperboli equilatere riferite agli asintoti, $xy \ne \frac{\pi}{2},$ $xy \ne \frac{3\pi}{2}, ...$ e chiaramente non è limitato essendo $k \in \mathbb{Z}$.
Quindi la risposta "il dominio della funzione è il complemento di un insieme finito di punti nel piano reale" è errata?
Le alternative sono
1)il dominio non contiene nessuna retta ad eccezione degli assi coordinati x e y
2)il dominio è costituito da un insieme finito di punti
3)il dominio è contenuto in un disco centrato nell'origine
Andando a logica se "è il complemento di un insieme finito nel piano reale" è errata credo che l'unica possibile potrebbe essere la 1? (dato che la 2 no di sicuro dato che l'insieme non sarà finito e la 3 non credo centri molto il disco dato che anche esso rappresenta un insieme finito)
Le alternative sono
1)il dominio non contiene nessuna retta ad eccezione degli assi coordinati x e y
2)il dominio è costituito da un insieme finito di punti
3)il dominio è contenuto in un disco centrato nell'origine
Andando a logica se "è il complemento di un insieme finito nel piano reale" è errata credo che l'unica possibile potrebbe essere la 1? (dato che la 2 no di sicuro dato che l'insieme non sarà finito e la 3 non credo centri molto il disco dato che anche esso rappresenta un insieme finito)
Credo proprio sia la (1). Infatti per $x=0$ e $y=0$ la funzione è definita perché il coseno vale $1$, quindi gli assi cartesiani appartengono al dominio. D'altra parte, poiché dal dominio è escluso quel fascio di iperbole di cui parlavamo, è chiaro che tutte le rette del piano, esclusi gli assi, non possono stare interamente nel dominio perché si intersecano con le varie iperboli. Quindi nel dominio hai solo "rette bucate"...
ok capito! grazie mille!! =)
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