Semplice domanda sull'arcocoseno

[Oo.Stud.ssa.oO]

Ciao a tutti, ho un dubbio sull'arcocosenoo:
l'inversa di cosx $[0,\pi]$ è arcosx.
l'inversa di cosx $[\pi,2\pi]$?
E continuando a spostare in avanti l''intervallo?

[poncelet]

O sono io che non capisco la domanda oppure la risposta (banale) è: l'inversa della funzione $\cos x$ è $\arccos x$.

[Oo.Stud.ssa.oO]

"maxsiviero":O sono io che non capisco la domanda oppure la risposta (banale) è: l'inversa della funzione $\cos x$ è $\arccos x$.

In un esercizio io ho il coseno da o a $2\pi$ e devo trovare l'inversa. Dato che deve essere monotona la divido in 2 intervalli, uno da$[0,\pi]$ e uno $[\pi,2\pi]$.
E il professore ha detto che l'inversa per il primo intervallo è arcocosx, mentre l inversa nel secondo intervallo è $2\pi$ -arcosx
e non capisco perchè..

Sarebbe un esercizio sulle variabili aleatorie, dove devo trovare l 'inversa e inserirla in una formula

[gugo82]

Prova a costruire la funzione inversa graficamente...

[Oo.Stud.ssa.oO]

"gugo82":Prova a costruire la funzione inversa graficamente...

Mi spiegheresti in che modo...

[gugo82]

Nel modo che si impara alle superiori, cioé simmetrizzando il grafico della funzione da invertire rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

[Oo.Stud.ssa.oO]

"gugo82":Nel modo che si impara alle superiori, cioé simmetrizzando il grafico della funzione da invertire rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

Ok però i conti non tornano...ok per la parte da $[0,\pi]$ ma se simmetrizzo la parte da $[\pi,2\pi]$ esce una funzione che non ha niente a che vedere con l'arcocoseno....

[gugo82]

Guarda bene... Non è che è proprio l'arcocoseno, traslato e simmetrizzato?

[Oo.Stud.ssa.oO]

Ok per la parte grafica! Ma come espressione analitica, perchè ho $2\pi$ - arcocosx? questo non lo capisco...

[Newton_1372]

Per angoli compresi tra $\pi$ e $2\pi$ possiamo usare la scrittura $2\pi-x$, con $x$ compreso tra $\pi$ e $2\pi$. Ora osserva che
$\cos(2\pi-x)=\cos 2\pi\cos x+\sin 2\pi\sin x = \cos x$.
Ora ti dò un numero y da $-1$ a $1$. L'arcocoseno ti associa $\arccos y$, compreso fra $0$ e $\pi$. Ma sappiamo che $\cos(2\pi-x)=\cos x$ nello stesso intervallo. Se a quell'y voglio associato un numero tra $\pi$ e $2\pi$ sono legittimato a prendere $2\pi-\arccos y$.

[Oo.Stud.ssa.oO]

"newton_1372":Per angoli compresi tra $\pi$ e $2\pi$ possiamo usare la scrittura $2\pi-x$, con $x$ compreso tra $\pi$ e $2\pi$. Ora osserva che
$\cos(2\pi-x)=\cos 2\pi\cos x+\sin 2\pi\sin x = \cos x$.

Giusto.. lo si vede anche guardando una circonferenza!! Ma se invece mi trovo tra $2\pi$ e $3\pi$ ?
E se mi trovo tra $3\pi$ e $4\pi$ uso la scrittura $4\pi-x$, giusto?

[Newton_1372]

L'idea è che ogni angolo te lo esprimi come un multiplo di $2\pi$ più un numero compreso fra 0 e $\pi$.
Metti che vuoi trovarti l'inversa del coseno nell'intervallo $578\pi-579\pi$ radianti. Se $x$ è compreso tra 578pi e 579pi, puoi scrivere $x=578\pi+x$ dove x è compreso fra 0 e $\pi$. Quello che fai è definire l'inversa del coseno in quell'intervallo in questo modo
$\cos^(-1)|_{ [578\pi,579\pi] }(x) = 578\pi+\arccos(y)$, dove $y$ è quel numero compreso fra -1 e 1 tale che $y=\cos(x)$

[Oo.Stud.ssa.oO]

Ma questo vale da $2\pi$ in avanti?

[Newton_1372]

Vale da $\pi$ in avanti...se me lo chiedi vuol dire che non hai capito bene il ragionamento (perchè ti sembrerebbe ovvio).
Metti di voler calcolare quell'angolo $\theta$, compreso fra $578\pi$ e $579\pi$ radianti, tale che $\cos\theta= 1/2$.
Calcola innanzitutto $\arccos (1/2)$: trovi $\pi/3$: un angolo compreso tra $0$ e $\pi$ tale che il coseno di lui è $1/2$. Il problema è che tu lo cerchi in ben altro intervallo. Esiste un solo angolo nell'intervallo richiesto tale che il coseno è 1/2; se ne troviamo uno siamo a posto.
Ora nota che il coseno assume lo stesso valore addizionando un multiplo di $2\pi$. Quindi se io prendo $\pi/3+2k\pi$ il suo coseno varrà sempre $1/2$. Morale della favola: $578\pi+\pi/3$ fa proprio a caso mio, ergo $cos^(-1) (1/2)$ nel punto considerato fa $578\pi+\pi/3$.
Capito adesso?
Ovviamente prendendo un qualsiasi altro valore $x$ tra -1 e 1 succede la stessa cosa: calcolo $\arccos(x)$, e ci aggiungo $578\pi$. Esso è un angolo compreso nell'intervallo che voglio io tale che il coseno fa sempre x.
Ovviamente nel caso il tuo intervallo sia da un numero dispari a un numero pari, tipo vuoi trovarti l'inversa del coseno da $1111\pi$ a $1112\pi$, trovi che, se x è tra 0 e pi, si ha $\cos(2k\pi-x)=\cos(x)$. Quindi dato $-1 $\cos^(-1) y = 1112\pi - \arccos y$.

[Oo.Stud.ssa.oO]

"newton_1372":Vale da $\pi$ in avanti...se me lo chiedi vuol dire che non hai capito bene il ragionamento (perchè ti sembrerebbe ovvio).
Metti di voler calcolare quell'angolo $\theta$, compreso fra $578\pi$ e $579\pi$ radianti, tale che $\cos\theta= 1/2$.
Calcola innanzitutto $\arccos (1/2)$: trovi $\pi/3$: un angolo compreso tra $0$ e $\pi$ tale che il coseno di lui è $1/2$. Il problema è che tu lo cerchi in ben altro intervallo. Esiste un solo angolo nell'intervallo richiesto tale che il coseno è 1/2; se ne troviamo uno siamo a posto.
Ora nota che il coseno assume lo stesso valore addizionando un multiplo di $2\pi$. Quindi se io prendo $\pi/3+2k\pi$ il suo coseno varrà sempre $1/2$. Morale della favola: $578\pi+\pi/3$ fa proprio a caso mio, ergo $cos^(-1) (1/2)$ nel punto considerato fa $578\pi+\pi/3$.
Capito adesso?
Ovviamente prendendo un qualsiasi altro valore $x$ tra -1 e 1 succede la stessa cosa: calcolo $\arccos(x)$, e ci aggiungo $578\pi$. Esso è un angolo compreso nell'intervallo che voglio io tale che il coseno fa sempre x.
Ovviamente nel caso il tuo intervallo sia da un numero dispari a un numero pari, tipo vuoi trovarti l'inversa del coseno da $1111\pi$ a $1112\pi$, trovi che, se x è tra 0 e pi, si ha $\cos(2k\pi-x)=\cos(x)$. Quindi dato $-1 $\cos^(-1) y = 1112\pi - \arccos y$.

Più chiaro di così non potevi essere !!!
grazie 1000