Semplice disequaz con doppio valore assoluto
Ragazzi come si risolvono disequazioni dove son presenti 2 valori assoluti?
So che in alcuni casi conviene elevare al quadrato, però, in un caso come questo come procedo?
$ |5x-1|$< $ |x-1|+1 $
So che bisogna porre l'argomento dei valori assoluti magg. uguale a 0.
Ma poi devo fare tutte le combinazioni possibili di casi?
So che in alcuni casi conviene elevare al quadrato, però, in un caso come questo come procedo?
$ |5x-1|$< $ |x-1|+1 $
So che bisogna porre l'argomento dei valori assoluti magg. uguale a 0.
Ma poi devo fare tutte le combinazioni possibili di casi?
Risposte
"AleAnt":
So che bisogna porre l'argomento dei valori assoluti magg. uguale a 0.
Dove hai sentito questa cosa?
salvo una mia grande distrazione, il valore assoluto di una qualche funzione è una quantità sempre maggiore uguale a zero; o sbaglio?
quindi ho pensato che bisogna imporre tali condizioni e poi procedere.
ebbene, come procedere?
quindi ho pensato che bisogna imporre tali condizioni e poi procedere.
ebbene, come procedere?
Spesso serve a molto guardare l'esercizio con attenzione, potrebbero esserci "trucchi" per risolvere l'esercizio più velocemente.
In questo caso non ne vedo. Per risolvere l'esercizio devi distinguere i casi in cui il valore assoluto ha un argomento negativo e un argomento positivo.
Ad esempio: $ |x-1|=3x$ devi esplicitare il valore assoluto.
Distingui i due casi: se $x>=1=>x-1>=0=>|x-1|=x-1$ e quindi per $x>=1$ la tua equazione diventa $x-1=3x$ che ha soluzione $x=-1/2$ che non sta nell'intervallo considerato, quindi non hai soluzione dell'equazione per $x>=1$.
Se invece $x<1$ hai $|x-1|=-(x-1)$ e quindi l'equazione è $1-x=3x$ che da $x=1/4$ anche questo da scartare.
Quindi l'equazione non ha soluzione.
Nel tuo caso devi distinguere tutti i 4 casi: il 1° [2°] ha argomento positivo [negativo] e le varie combinazioni...
In questo caso non ne vedo. Per risolvere l'esercizio devi distinguere i casi in cui il valore assoluto ha un argomento negativo e un argomento positivo.
Ad esempio: $ |x-1|=3x$ devi esplicitare il valore assoluto.
Distingui i due casi: se $x>=1=>x-1>=0=>|x-1|=x-1$ e quindi per $x>=1$ la tua equazione diventa $x-1=3x$ che ha soluzione $x=-1/2$ che non sta nell'intervallo considerato, quindi non hai soluzione dell'equazione per $x>=1$.
Se invece $x<1$ hai $|x-1|=-(x-1)$ e quindi l'equazione è $1-x=3x$ che da $x=1/4$ anche questo da scartare.
Quindi l'equazione non ha soluzione.
Nel tuo caso devi distinguere tutti i 4 casi: il 1° [2°] ha argomento positivo [negativo] e le varie combinazioni...
@ Steven
scusa se m'intrometto...
ma immagini che "porre" non sia sinonimo di "supporre": semplicemente bisogna studiare il segno dei vari argomenti per vedere quando, togliendo il simbolo di modulo, vanno presi con il solo segno oppure con il segno opposto... ciao.
scusa se m'intrometto...
ma immagini che "porre" non sia sinonimo di "supporre": semplicemente bisogna studiare il segno dei vari argomenti per vedere quando, togliendo il simbolo di modulo, vanno presi con il solo segno oppure con il segno opposto... ciao.
Immagino tu sappia che $|a|=a$ se $a>=0$ e $|a|=-a$ se $a<0$
"adaBTTLS":
@ Steven
scusa se m'intrometto...
ma immagini che "porre" non sia sinonimo di "supporre": semplicemente bisogna studiare il segno dei vari argomenti per vedere quando, togliendo il simbolo di modulo, vanno presi con il solo segno oppure con il segno opposto... ciao.
Si, quello intendevo.
Da come ha detto AleAnt sembrerebbe una condizione da porre sull'argomento, come se avesse davanti una radice di indice pari.
Suggerirei - in accordo con la "tradizione" - di studiare il segno delle quantità entro i valori assoluti. In altre parole, procederei trovando dove è positivo o nullo $5x-1$ e dove è positivo o nullo $x-1$. A questo punto si riporta il risultato su un quadro simile a quello che si fa per le frazioni.
$5x-1>=0->x>=1/5$
$x-1>=0->x>=1$
I arg. - - - - |+ + + +| + + + +
II arg. - - - - |- - - - - |+ + + + +
dove la prima "stanghetta" verticale è in luogo di $x=1/5$, la seconda in luogo di $x=1$.
Quindi, in sostanza si hanno tre intervalli ($x<1/5$, $1/5<=x<1$, $x>=1$) in cui dobbiamo lavorare. Nel primo, evidentemente i contenuti dei due moduli sono entrambi negativi (ci sono segni meno sia per il I arg, sia per il II); dunque possiamo togliere il segno di modulo cambiando segno all'argomento; cioè
${[x<1/5],[-5x+1<-x+1+1]:}$
Ora risolvi questo primo sistema e trovi una parte delle soluzioni. A questo punto, lascio a te l'onore di dilettarti con gli altri due intervalli (il procedimento è analogo, ti invito a postare qualora qualcosa non fosse chiaro). L'unione delle soluzioni dei tre sistemi darà l'insieme delle soluzioni della disequazione proposta.
$5x-1>=0->x>=1/5$
$x-1>=0->x>=1$
I arg. - - - - |+ + + +| + + + +
II arg. - - - - |- - - - - |+ + + + +
dove la prima "stanghetta" verticale è in luogo di $x=1/5$, la seconda in luogo di $x=1$.
Quindi, in sostanza si hanno tre intervalli ($x<1/5$, $1/5<=x<1$, $x>=1$) in cui dobbiamo lavorare. Nel primo, evidentemente i contenuti dei due moduli sono entrambi negativi (ci sono segni meno sia per il I arg, sia per il II); dunque possiamo togliere il segno di modulo cambiando segno all'argomento; cioè
${[x<1/5],[-5x+1<-x+1+1]:}$
Ora risolvi questo primo sistema e trovi una parte delle soluzioni. A questo punto, lascio a te l'onore di dilettarti con gli altri due intervalli (il procedimento è analogo, ti invito a postare qualora qualcosa non fosse chiaro). L'unione delle soluzioni dei tre sistemi darà l'insieme delle soluzioni della disequazione proposta.
@ AleAnt
nella tua disequazione i "punti critici" o "punti limite" sono $x=1/5$ e $x=1$. dunque devi risolvere tre sistemi di disequazioni e poi prendere l'unione delle tre soluzioni... non so scrivere le parentesi graffe... anzi faccio un appello perché qualcuno me lo spieghi....:
1° sistema: $((-5x+1 < -x+1+1)^^^(x < 1/5))$
2° sistema: $((5x-1 < -x+1+1)^^^(1/5 <= x <=1))$
3° sistema: $((5x-1 < x-1+1)^^^(x > 1))$
per gli estremi, è indifferente considerarli in un intervallo o nell'altro, perché per quei valori l'argomento e quindi il modulo si annulla. ciao.
nella tua disequazione i "punti critici" o "punti limite" sono $x=1/5$ e $x=1$. dunque devi risolvere tre sistemi di disequazioni e poi prendere l'unione delle tre soluzioni... non so scrivere le parentesi graffe... anzi faccio un appello perché qualcuno me lo spieghi....:
1° sistema: $((-5x+1 < -x+1+1)^^^(x < 1/5))$
2° sistema: $((5x-1 < -x+1+1)^^^(1/5 <= x <=1))$
3° sistema: $((5x-1 < x-1+1)^^^(x > 1))$
per gli estremi, è indifferente considerarli in un intervallo o nell'altro, perché per quei valori l'argomento e quindi il modulo si annulla. ciao.
"adaBTTLS":
@ AleAnt
non so scrivere le parentesi graffe... anzi faccio un appello perché qualcuno me lo spieghi....:
.
Su Windows:
${ = $ alt+123 del tastierino numerico
$} = $ alt+125 del tastierino numerico
Per i sistemi : {[I equazione], [II equazione], ... , :}.
Ciao
vedo che sono stata preceduta da Paolo90, e vedo anche che nella "lettura" del simbolo "parentesi graffa" risulta esattamente parentesi graffa... ma, o la mia tastiera non è conforme, o io non so trovare il simbolo di parentesi graffa...
grazie anticipatamente se qualcuno mi può aiutare. ciao.
grazie anticipatamente se qualcuno mi può aiutare. ciao.
{}...
grazie... anche ora sono arrivata tardi...
sai quanti tentativi ho fatto prima di capire che le parentesi comparivano solo dopo il "rilascio" del tasto Alt ! grazie ancora. ciao.
P. S.: scusate se quest'ultimo messaggio dovesse arrivare dopo che il precedente avrà scatenato altre reazioni...
grazie... anche ora sono arrivata tardi...
sai quanti tentativi ho fatto prima di capire che le parentesi comparivano solo dopo il "rilascio" del tasto Alt ! grazie ancora. ciao.
P. S.: scusate se quest'ultimo messaggio dovesse arrivare dopo che il precedente avrà scatenato altre reazioni...
"adaBTTLS":
{}...
grazie... anche ora sono arrivata tardi...
sai quanti tentativi ho fatto prima di capire che le parentesi comparivano solo dopo il "rilascio" del tasto Alt ! grazie ancora. ciao.
Ma figurati (tra l'altro scusami, non sono stato sufficientemente preciso: avrei dovuto dirtelo di rilasciare alt.. scusa).
@ adaBTTLS
In base all'ordine, da te dato ai sistemi, le soluzioni sono:
1) sistema $ - 1/4 < x < 1/5 $
2) sistema $ - 1/5 < x < 1/2 $
3) sistema non ha soluzioni
quindi l'unione è $ -1/4 < x < 1/2 $
In base all'ordine, da te dato ai sistemi, le soluzioni sono:
1) sistema $ - 1/4 < x < 1/5 $
2) sistema $ - 1/5 < x < 1/2 $
3) sistema non ha soluzioni
quindi l'unione è $ -1/4 < x < 1/2 $
il risultato è corretto, anche se la soluzione del secondo sistema dovrebbe essere $+1/5 <= x < 1/2$. ciao.
Hai ragione. Ho sbagliato a trascrivere.
Grazie a tutti per l'aiuto. Ciao
Grazie a tutti per l'aiuto. Ciao
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