Semplice convergenza uniforme (è giusto?)
Ciao a tutti,
volevo chiedervi se è giusto il ragionamento che ho fatto per mostrare che la successione
[tex]\displaystyle f_{n}=\frac{1+\cos(x)^n}{1+x^{2n}}[/tex] diverge uniformemente.
Puntualmente converge a 0.
La derivata prima [tex]\displaystyle \frac{\cos(x)^{n-1}(p_{1})-(p_{2})(1+\cos(x)^n)}{(...)^2}[/tex] si annulla quantomeno in 0 e pi/2, con [tex]p_{1},p_{2} > 0 \mbox{ se } x > 0[/tex].
Essendo, si vede ad occhio, che gli altri punti di massimo relativi stanno "sotto" il primo e che:
[tex]f(0-\varepsilon)f(0-\varepsilon)[/tex] e che [tex]f(\frac{\pi}{2}-\varepsilon})>f(\frac{\pi}{2})
Per cui la successione non può convergere uniformemente.
volevo chiedervi se è giusto il ragionamento che ho fatto per mostrare che la successione
[tex]\displaystyle f_{n}=\frac{1+\cos(x)^n}{1+x^{2n}}[/tex] diverge uniformemente.
Puntualmente converge a 0.
La derivata prima [tex]\displaystyle \frac{\cos(x)^{n-1}(p_{1})-(p_{2})(1+\cos(x)^n)}{(...)^2}[/tex] si annulla quantomeno in 0 e pi/2, con [tex]p_{1},p_{2} > 0 \mbox{ se } x > 0[/tex].
Essendo, si vede ad occhio, che gli altri punti di massimo relativi stanno "sotto" il primo e che:
[tex]f(0-\varepsilon)
Per cui la successione non può convergere uniformemente.
Risposte
Non capisco, parli di dover dimostrare la convergenza puntuale e poi parli di uniforme... In quale intervallo devi discutere, poi? $ [0,\pi/2]$?
La derivata viene
[tex]\displaystyle f_n ' (x)=\frac{-n (cosx)^{n-1}senx(1+x^{2n}) - 2n(1+cos^n x)x^{2n-1}}{(1+x^{2n})^2}[/tex]
che in $0$ si annulla, ma in $pi/2$ no.
Paola
La derivata viene
[tex]\displaystyle f_n ' (x)=\frac{-n (cosx)^{n-1}senx(1+x^{2n}) - 2n(1+cos^n x)x^{2n-1}}{(1+x^{2n})^2}[/tex]
che in $0$ si annulla, ma in $pi/2$ no.
Paola
volevo dire, convergenza uniforme
Dove? Tutto $\mathbb{R}$, un intervallo...?
Paola
Paola
in tutto R, si, scusa
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