Semicontinuità vs continuità a destra/sinistra

[Antimius]

Volevo chiedere se a qualcuno venissero in mente due esempi su funzioni reali di variabile reale, riguardo:
-una funzione semicontinua inferiormente o superiormente, che non sia né continua a destra né a sinistra;
-una funzione continua a destra o a sinistra, che non sia né semicontinua inferiormente né semicontinua inferiormente.
Ovviamente se è possibile.

So che sono due concetti distinti, ma proprio non riesco a immaginarmi un caso in cui valgano le suddette situazioni. Mi sto perdendo in un bicchier d'acqua?!

[Rigel1]

1) $f(x) = 0$ in $\mathbb{Q}$, $=1$ altrimenti; è semicontinua inf. in $x=0$, ma non esistono i lim sx e dx.
2) $f(x) = 0$ per $x<0$, $f(x) = 1$ per $x>0$, $f(0) = 1/2$; in $x=0$ non è semicontinua né inf. né sup., ma esistono finiti i limiti sx e dx.

[Antimius]

Accidenti, ci avevo pure pensato a mettere in mezzo i razionali. -_-
Grazie tante per l'aiuto!

[Rigel1]

"Antimius":Accidenti, ci avevo pure pensato a mettere in mezzo i razionali. -_-

Non è fondamentale.
Prendi una qualsiasi funzione limitata che non abbia limite sx e dx, ad esempio $f(x) = \sin (1/x)$, poi la definisci in $0$ con qualsiasi valore più basso della limitazione inferiore fuori da $0$, ad esempio $f(0) = -1$, o anche $f(0) = -173$.
Chiaramente la funzione così ottenuta è semicontinua inf. in $x=0$ ma non esistono i limiti sx e dx.
Se la vuoi semicontinua sup. ti basta porre $f(0) \ge 1$.

[Antimius]

Ok. Ho capito il primo esempio. Però ora che ci penso, nel secondo esempio è sufficiente la semplice esistenza dei limiti? Il limite da destra (o rispettivamente da sinistra) non dev'essere uguale al valore della funzione nel punto per avere una continuità da destra (sinistra)?

[Rigel1]

ups, scusa, ho letto male la domanda in cui richiedevi la continuità a destra/sinistra e non la sola esistenza del limite destro/sinistro.

Comunque, prendi $f(x) = 0$ per $x\le 0$, $f(x) = \sin(1/x)$ per $x>0$.
Questa funzione, in $x=0$, è continua a sinistra ma non è semicontinua né inf. né sup.

[Antimius]

Grazie ancora