Semicontinuità inferiore
salve conoscete per caso la definizione di funzione semicontinua inferiormente per una funzione da $X$ in R con $X$ spazio topologico qualsiasi?
non credo che questo concetto si estenda anche per funzioni che vanno in uno spazio topologico qualsiasi ma nel caso fatemi sapere...
non ho molta voglia di estrapolarla a partire dalla definizione con le successioni che conosco io e che probabilmente varranno solo se lo spazio ha base numerabile...
non credo che questo concetto si estenda anche per funzioni che vanno in uno spazio topologico qualsiasi ma nel caso fatemi sapere...
non ho molta voglia di estrapolarla a partire dalla definizione con le successioni che conosco io e che probabilmente varranno solo se lo spazio ha base numerabile...
Risposte
Basta che l'epigrafico sia chiuso.
La topologia della semicontinuità inferiore su $RR$ è ${(alpha,+oo)|alpha in RR}cup{O/,RR}$
quindi $f:X to RR$ è semicontinua inferiormente (cioè continua rispetto alla topologia della s.c.i.) se (con $(X,tau)$)
$AA alpha in RR: f^(-1)(alpha,+oo) in tau$
Ovviamente se $X$ è spazio metrico riottieni le definzioni abituali.
quindi $f:X to RR$ è semicontinua inferiormente (cioè continua rispetto alla topologia della s.c.i.) se (con $(X,tau)$)
$AA alpha in RR: f^(-1)(alpha,+oo) in tau$
Ovviamente se $X$ è spazio metrico riottieni le definzioni abituali.
Mi pare che si possa fare una cosa del genere:
$f:X\toRR$ è semicontinua inferiormente $iff$ le controimmagini delle semirette $(a, +infty)$ sono aperte in $X$.
P.S.: ops...scrivevo contemporaneamente agli altri...meno male che almeno non ho detto grosse fesserie!
$f:X\toRR$ è semicontinua inferiormente $iff$ le controimmagini delle semirette $(a, +infty)$ sono aperte in $X$.
P.S.: ops...scrivevo contemporaneamente agli altri...meno male che almeno non ho detto grosse fesserie!
Visto che hanno gia' risposto in tanti, posso aggiungermi anch'io.
La s.c.i. ha a che fare con la scelta di mettere sullo spazio di arrivo ($RR$) una diversa topologia, rispetto a quella solita, euclidea: la topologia della semicontinuita' inferiore.
Quindi, rispetto allo spazio di partenza, $X$, non cambia nulla. Puo' essere uno spazio topologico qualunque, esattamente come nel caso delle funzioni continue.
La s.c.i. ha a che fare con la scelta di mettere sullo spazio di arrivo ($RR$) una diversa topologia, rispetto a quella solita, euclidea: la topologia della semicontinuita' inferiore.
Quindi, rispetto allo spazio di partenza, $X$, non cambia nulla. Puo' essere uno spazio topologico qualunque, esattamente come nel caso delle funzioni continue.
Che proprietà di separazione ha questa topologia? Non è di Hausdorff, o mi sbaglio?
No, non e' Hausdorff.
Aggiungo una cosa, che e' rimasta implicita nel mio post precedente.
Una funzione s.c.i. da $X$, spazio topologico, in $RR$, non e' altro che una funzione continua da $X$ a $RR$ con la topologia della s.c.i.
Aggiungo una cosa, che e' rimasta implicita nel mio post precedente.
Una funzione s.c.i. da $X$, spazio topologico, in $RR$, non e' altro che una funzione continua da $X$ a $RR$ con la topologia della s.c.i.
ottimo ottimo... siete stati molto utili!...
a questo punto dalla definizione risulta immediato (pare anche a voi, vero?ora non vorrei prendere un granchio) vedere questo risultato che mi sembrava di trovare utilizzato in degli appunti:
- una funzione semicontinua inferiormente che assume solo valori naturali è localmente costante...
che magari è più rognosetto da dimostrare nel caso particolare X=R
a questo punto dalla definizione risulta immediato (pare anche a voi, vero?ora non vorrei prendere un granchio) vedere questo risultato che mi sembrava di trovare utilizzato in degli appunti:
- una funzione semicontinua inferiormente che assume solo valori naturali è localmente costante...
che magari è più rognosetto da dimostrare nel caso particolare X=R
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo