Semicontinuità dell'Energia Potenziale
Sia [tex]\psi \in H^1(\mathbb{R}^n)[/tex]$
Sia [tex]V \in L^{n/2}(\mathbb{R}^n)[/tex]
e definiamo
[tex]V_\psi:=\int_{\mathbb{R}^n} \psi^* V \psi \ \ d\mu[/tex]
Sia [tex]n \ge 3[/tex].
Ora il teorema del quale cercavo di capire la dimostrazione dice che se [tex]\psi_j\ {\rightharpoonup}\ \psi[/tex] allora [tex]V_{\psi_j} \to V_\psi[/tex], cioè che il funzionale [tex]V[/tex] è debolmente continuo (è così che si dice, è giusta la frase no?)
Vorrei provare a dimostrarlo in modo alternativo dal libro che non comprendo.
Se riuscissi a dimostrare che [tex]V_\psi[/tex] è un funzionale continuo, nella topologia forte, lo rimarrebbe anche nella debole per definizione di topologia debole, no?
Sappiamo che [tex]\forall \phi\in H^1(\mathbb{R}^n)^*\ \ |\phi(\psi_j)|<+\infty[/tex]
Per il th. di Banach-Steinhaus applicato a [tex]H^1(\mathbb{R}^n)^*[/tex]
si ha che [tex]\exists C\ \text{tc} \ ||\psi_j||
[tex]V_\psi=\int_{\mathbb{R}^n} V |\psi|^2 \ \ d\mu \le ||V||_{n/2} \ ||\psi||_q[/tex]
dove [tex]q[/tex] è il coniugato di sobolev di [tex]2\ \ q=\frac{n2}{n-2}[/tex]
e a questo punto usare il fatto che [tex]n \ge 3[/tex] e dire che vale [tex]||\psi||_q \le K ||D\psi||_2 \le K ||\psi||_{H^1}[/tex]
Allora [tex]|V_\psi|<+\infty\ \ \forall \psi \ in H^1(\mathbb{R}^n)[/tex]
Si può dire quindi in qualche modo che il funzionale è continuo?
Ci ripenserò presto e magari riposto.
Sia [tex]V \in L^{n/2}(\mathbb{R}^n)[/tex]
e definiamo
[tex]V_\psi:=\int_{\mathbb{R}^n} \psi^* V \psi \ \ d\mu[/tex]
Sia [tex]n \ge 3[/tex].
Ora il teorema del quale cercavo di capire la dimostrazione dice che se [tex]\psi_j\ {\rightharpoonup}\ \psi[/tex] allora [tex]V_{\psi_j} \to V_\psi[/tex], cioè che il funzionale [tex]V[/tex] è debolmente continuo (è così che si dice, è giusta la frase no?)
Vorrei provare a dimostrarlo in modo alternativo dal libro che non comprendo.
Se riuscissi a dimostrare che [tex]V_\psi[/tex] è un funzionale continuo, nella topologia forte, lo rimarrebbe anche nella debole per definizione di topologia debole, no?
Sappiamo che [tex]\forall \phi\in H^1(\mathbb{R}^n)^*\ \ |\phi(\psi_j)|<+\infty[/tex]
Per il th. di Banach-Steinhaus applicato a [tex]H^1(\mathbb{R}^n)^*[/tex]
si ha che [tex]\exists C\ \text{tc} \ ||\psi_j||
[tex]V_\psi=\int_{\mathbb{R}^n} V |\psi|^2 \ \ d\mu \le ||V||_{n/2} \ ||\psi||_q[/tex]
dove [tex]q[/tex] è il coniugato di sobolev di [tex]2\ \ q=\frac{n2}{n-2}[/tex]
e a questo punto usare il fatto che [tex]n \ge 3[/tex] e dire che vale [tex]||\psi||_q \le K ||D\psi||_2 \le K ||\psi||_{H^1}[/tex]
Allora [tex]|V_\psi|<+\infty\ \ \forall \psi \ in H^1(\mathbb{R}^n)[/tex]
Si può dire quindi in qualche modo che il funzionale è continuo?
Ci ripenserò presto e magari riposto.
Risposte
"Fox":E qui casca l'asino!
Se riuscissi a dimostrare che [tex]V_\psi[/tex] è un funzionale continuo, nella topologia forte, lo rimarrebbe anche nella debole per definizione di topologia debole, no?
(non te la prendere, si scherza)Vatti a rileggere il topic sulla topologia debole. Ti ricordi cosa abbiamo detto all'inizio? Indebolendo la topologia si ottengono dei vantaggi: aumentano le successioni convergenti e le parti compatte. Ma si ottengono anche degli svantaggi: diminuiscono le funzioni continue. In termini concreti, non è detto che un funzionale fortemente continuo sia anche debolmente continuo. E questo non capita solo con funzionali strampalati. Prendi $||*||_2$ su $L^2(RR)$. Chiaramente è fortemente continuo, ma non è debolmente continuo.
Si, si è giusto, vale solo per i lineari.
Ma comunque potrei vedere [tex]V_{\psi_j} =[/tex] e se riuscissi a dimostrare che $f_j \in L^2(\mathbb{R}^n)$ potrei in qualche modo sfruttare il fatto che
[tex]|V_{\psi_j}-V_{\psi}| \le \ \ |-|+|-|[/tex]?
Boh, adesso vado in pausa!
Ma comunque potrei vedere [tex]V_{\psi_j} =
[tex]|V_{\psi_j}-V_{\psi}| \le \ \ |
Boh, adesso vado in pausa!
Il problema è che $V$ non mi pare lineare. A meno che tu non intenda per $psi^\star$ qualcosa che io non conosco, il che è possibilissimo, purtroppo; ad esempio $L^(n/2)$ mi giunge nuovo... 
No no infatti [tex]V_\psi[/tex] non è lineare, inizialmente non avevo prestato attenzione a questo fatto, sbagliando.
[tex]\psi^*[/tex] è il complesso coniugato di [tex]\psi[/tex].
E [tex]L^{n/2}(\mathbb{R}^n)[/tex] sul libro lo intende semplicemente come [tex]L^r(\mathbb{R}^n)[/tex] dove r non è intero...
Intendevo che [tex]\int_{\mathbb{R}^n} \psi^*\ V\ (*)\ d\mu[/tex], dove [tex](*)[/tex] è semplicemente un segnaposto, è un funzionale lineare.
quindi se vedo [tex]f_j=\psi_j\ V[/tex], posso scrivere [tex]V_\psi_j=[/tex].
Riguardando un pò il libro lui dice:
chiamando [tex]V_\psi^\delta=\begin{cases} V(x) & \mbox{se} |x|<\frac{1}{\delta}\\ 0 & \mbox{se} |x|\ge \frac{1}{\delta} \end{cases}[/tex]
e procedendo come nel post precedente (cioè con Holder e poi con la diseguaglianza del gradiente di sobolev) si può far vedere che
[tex]|V_\psi_j-V_\psi_j^\delta|=|\int_{\mathbb{R}^n} (V-V^\delta) |\psi_j|^2\ d\mu |\le C_\delta[/tex] una costante che dipende solo da delta, e che va a zero se delta va a 0.
Adesso per finire la dim. si vuole far vedere che [tex]V_\psi_j^\delta \to V_\psi^\delta[/tex].
per ipotesi [tex]V[/tex](la funzione) svanisce all'infinito, cioè [tex]|\ \{ x \in \mathbb{R}^n\ |\ \ |V(x)|>a \}\ |<+\infty\ \ \ \forall a \in \mathbb{R}^+[/tex]
Riadattando un pò il suo ragionamento posso dire [tex]A_\epsilon=\{x\in \mathbb{R}^n\ |\ |V(x)|>\epsilon \}[/tex]
[tex]V_\psi_j^\delta=\int_{\mathbb{R}^n} \psi_j^*\ V^\delta\ \psi_j\ d\mu=\int_{A_\epsilon} \psi_j^*\ V^\delta\ \psi_j\ d\mu+\int_{\bar{A_\epsilon}} \psi_j^*\ V^\delta\ \psi_j\ d\mu[/tex]
ora posso dire [tex]\int_{\bar{A_\epsilon}} \psi_j^*\ V^\delta\ \psi_j\ d\mu \le \epsilon\ ||\psi_j||_2[/tex]
e per l'altro pezzo a questo punto sono quasi sicuro di poter far vedere che esiste [tex]f_j \in L^2(A_\epsilon)[/tex]
tale che [tex]\int_{A_\epsilon} \psi_j^*\ V^\delta\ \psi_j\ d\mu=[/tex] , cioè dimostrare che [tex]\psi_j^*\ V^\delta \in L^2(A_\epsilon)[/tex]
domani ci provo quando avrò un pò di tempo...
[tex]\psi^*[/tex] è il complesso coniugato di [tex]\psi[/tex].
E [tex]L^{n/2}(\mathbb{R}^n)[/tex] sul libro lo intende semplicemente come [tex]L^r(\mathbb{R}^n)[/tex] dove r non è intero...
Intendevo che [tex]\int_{\mathbb{R}^n} \psi^*\ V\ (*)\ d\mu[/tex], dove [tex](*)[/tex] è semplicemente un segnaposto, è un funzionale lineare.
quindi se vedo [tex]f_j=\psi_j\ V[/tex], posso scrivere [tex]V_\psi_j=
Riguardando un pò il libro lui dice:
chiamando [tex]V_\psi^\delta=\begin{cases} V(x) & \mbox{se} |x|<\frac{1}{\delta}\\ 0 & \mbox{se} |x|\ge \frac{1}{\delta} \end{cases}[/tex]
e procedendo come nel post precedente (cioè con Holder e poi con la diseguaglianza del gradiente di sobolev) si può far vedere che
[tex]|V_\psi_j-V_\psi_j^\delta|=|\int_{\mathbb{R}^n} (V-V^\delta) |\psi_j|^2\ d\mu |\le C_\delta[/tex] una costante che dipende solo da delta, e che va a zero se delta va a 0.
Adesso per finire la dim. si vuole far vedere che [tex]V_\psi_j^\delta \to V_\psi^\delta[/tex].
per ipotesi [tex]V[/tex](la funzione) svanisce all'infinito, cioè [tex]|\ \{ x \in \mathbb{R}^n\ |\ \ |V(x)|>a \}\ |<+\infty\ \ \ \forall a \in \mathbb{R}^+[/tex]
Riadattando un pò il suo ragionamento posso dire [tex]A_\epsilon=\{x\in \mathbb{R}^n\ |\ |V(x)|>\epsilon \}[/tex]
[tex]V_\psi_j^\delta=\int_{\mathbb{R}^n} \psi_j^*\ V^\delta\ \psi_j\ d\mu=\int_{A_\epsilon} \psi_j^*\ V^\delta\ \psi_j\ d\mu+\int_{\bar{A_\epsilon}} \psi_j^*\ V^\delta\ \psi_j\ d\mu[/tex]
ora posso dire [tex]\int_{\bar{A_\epsilon}} \psi_j^*\ V^\delta\ \psi_j\ d\mu \le \epsilon\ ||\psi_j||_2[/tex]
e per l'altro pezzo a questo punto sono quasi sicuro di poter far vedere che esiste [tex]f_j \in L^2(A_\epsilon)[/tex]
tale che [tex]\int_{A_\epsilon} \psi_j^*\ V^\delta\ \psi_j\ d\mu=
domani ci provo quando avrò un pò di tempo...
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