Semicirconferenza passante per una singolarità
Sto svolgendo questo esercizio e avrei bisogno di un chiarimento; l'esercizio è:
'Calcola l'integrale curvilineo su gamma' : \(\displaystyle \int \frac{3x}{x^2+y^2}dx + \frac{y}{x^2+y^2}dy \) dove gamma è la semicirconferenza di centro (-1,0) e raggio = 2 percorsa da (1,0) a (-3,0).
Io ho inizialmente diviso la forma differenziale \(\displaystyle \omega \) in due forme differenziali \(\displaystyle \omega1=frac{x}{x^2+y^2}dx + \frac{y}{x^2+y^2}dy \) e \(\displaystyle \omega2=\frac{2x}{x^2+y^2}dx \).
Ora la mia \(\displaystyle \omega1 \) è una forma differenziale esatta la cui funzione potenziale è \(\displaystyle U(x,y) = \frac{1}{2}ln(x^2+y^2) \); quindi faccio la variazione del potenziale dal punto finale al punto iniziale e ottengo \(\displaystyle \frac{1}{2}ln(9) \).
Ora mi rimane la seconda forma differenziale che non è esatta, allora parametrizzo la curva in questo modo:
\(\displaystyle \gamma=(2cost - 1, 2 sent) t\in[0, \pi] \).
Allora ho che l'integrale diventa: \(\displaystyle 2\int\frac{2cost -1}{(2cost-1)^2+4sen^2t}(-2sent)dt = 2\int \frac{2sent(-2cost+1)}{5-4cost}dt \).
A questo punto ho provato a fare questa sostituzione \(\displaystyle cost = s \), quindi ho che gli estremi di integrazione ora sono -1 e 1 e quindi \(\displaystyle 2\int \frac{2(-2s + 1)}{5-4s}ds = 4\int \frac{1-2s}{5-4s}ds\).
Quando svolgo questo integrale ottengo: \(\displaystyle \frac{5}{8} - \frac{3}{8}ln(9) \).
Però quando vado a sommare con la soluzione trovata col potenziale non mi ritrovo con la soluzione dell'esercizio; cosa ho sbagliato? Grazie in anticipo
'Calcola l'integrale curvilineo su gamma' : \(\displaystyle \int \frac{3x}{x^2+y^2}dx + \frac{y}{x^2+y^2}dy \) dove gamma è la semicirconferenza di centro (-1,0) e raggio = 2 percorsa da (1,0) a (-3,0).
Io ho inizialmente diviso la forma differenziale \(\displaystyle \omega \) in due forme differenziali \(\displaystyle \omega1=frac{x}{x^2+y^2}dx + \frac{y}{x^2+y^2}dy \) e \(\displaystyle \omega2=\frac{2x}{x^2+y^2}dx \).
Ora la mia \(\displaystyle \omega1 \) è una forma differenziale esatta la cui funzione potenziale è \(\displaystyle U(x,y) = \frac{1}{2}ln(x^2+y^2) \); quindi faccio la variazione del potenziale dal punto finale al punto iniziale e ottengo \(\displaystyle \frac{1}{2}ln(9) \).
Ora mi rimane la seconda forma differenziale che non è esatta, allora parametrizzo la curva in questo modo:
\(\displaystyle \gamma=(2cost - 1, 2 sent) t\in[0, \pi] \).
Allora ho che l'integrale diventa: \(\displaystyle 2\int\frac{2cost -1}{(2cost-1)^2+4sen^2t}(-2sent)dt = 2\int \frac{2sent(-2cost+1)}{5-4cost}dt \).
A questo punto ho provato a fare questa sostituzione \(\displaystyle cost = s \), quindi ho che gli estremi di integrazione ora sono -1 e 1 e quindi \(\displaystyle 2\int \frac{2(-2s + 1)}{5-4s}ds = 4\int \frac{1-2s}{5-4s}ds\).
Quando svolgo questo integrale ottengo: \(\displaystyle \frac{5}{8} - \frac{3}{8}ln(9) \).
Però quando vado a sommare con la soluzione trovata col potenziale non mi ritrovo con la soluzione dell'esercizio; cosa ho sbagliato? Grazie in anticipo
Risposte
secondo me c'è un problema nella parametrizzazione per me è $2cost+1 $ e non - 1.... -1 se fosse stata centrata in (1,0)...poi magari mi sbaglio.
EDIT: no è corretto come hai scritto tu!!! $(2cost-1+1)^2+4sin^2t=4$ e quindi torna.
EDIT: no è corretto come hai scritto tu!!! $(2cost-1+1)^2+4sin^2t=4$ e quindi torna.
però ora che lo guardo bene non mi convince tanto la sostituzione che hai fatto, hai imposto $s=cost$ , ok gli estremi di integrazione, ma con il ds non mi ci ritrovo per nulla, infatti a me risulta $ t=arcos(s)$ e quindi $dt=1/root()(1-s^2)ds$ e poi sint con cosa l'avresti sostituito, forse mi sono perso qualche passaggio, in altri termini a me risulta:
$ int_()^() (2sin(arcos(s))(-2s+1))/(5-4s)*1/root()(1+s^2) ds $ il che mi sembla complichi un pò la questione.
$ int_()^() (2sin(arcos(s))(-2s+1))/(5-4s)*1/root()(1+s^2) ds $ il che mi sembla complichi un pò la questione.
io ho fatto \(\displaystyle s = cost \) quindi \(\displaystyle ds = -sentdt \) allora \(\displaystyle dt = \frac{ds}{-sent} \) da qui sparisce il seno nell'integrale
perfetto mi torna 
bo allora a questo punto non so che dirti!! sembra sia tutto ok!!!
bo allora a questo punto non so che dirti!! sembra sia tutto ok!!!
Allora forse sbaglio qualche calcolo nella risoluzione dell'ultimo integrale
è possibile che dia 2?
Non penso perche alla fine il risultato finale dato dal potenziale e dall'integrale è: \(\displaystyle 4-2log(3) \)
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