Semi-continuità inferiore debole

[dknew]

Ciao ,
ho il seguente problema che non riesco a dimostrare:

Dimostra che ogni funzionale continuo e convesso definito su uno spazio di Banach è (sequenzialmente) semi-continuo inferiormente in senso debole.

So che siccome il funzionale è continuo e convesso allora abbiamo come condizione necessaria e sufficiente che l'epigrafo della funzione è chiuso e convesso. Per il lemma di Mazur è anche chiuso debolmente.
Dunque se dimostro che la chiusura debole dell'epigrafo implica la semi-continuità inferiore avrei risolto.
Tuttavia non riesco proprio ad andare avanti.

Grazie per l'attenzione!

[vict85]

Per ogni spazio topologico \(X\), la funzione \(f\colon X\to \mathbb{R}\) (o \(\mathbb{R}\cup \{+\infty\}\)) è detta semicontinua inferiormente se per ogni \(b\in B\), \(\displaystyle f^{-1}(-\infty, b] = \{ x\in X : f(x)\le b \}\) è chiuso.

Quindi per la definizione che conosco io hai già dimostrato che è semicontinuo inferiormente. Tu che definizione usi?

[dknew]

Innanzitutto grazie!

Dovre dimostrare che per ogni successione $x_n$ convergente debolmente ad $x$ allora:
$f(x) \leq \mathrm{liminf} f(x_n)$ per $n \to \oo$.

Semicontinuità debole in senso sequenziale, non topologico.

Edit: f(x) <= liminf f(x_n)