Sembra facile...

[freddofede]

In effetti a prima vista pare un problema di Cauchy sempliciotto rispetto ai precedenti
$y' = 2/3xy - 2/3x(x^2 + 1)
$y(0) = 2

Ma applico la formula e...

$y = e^(x^2/3){-2/3intx(1 + x^2)e^(-(x^2)/3)dx + C}

E come me lo trovo il C?

[Camillo]

Devi ancora integrare : quel C ponilo uguale a 0 : dopo aver integrato avrai un'altra costante da determinare sfruttando la condizione iniziale .

[Nidhogg]

Risulta $y=c_1*e^((x^2)/3)+x^2+4$. Ora applicando la condizione $y(0)=2$, si ha: $c_1+4=2 rarr c_1=-2$. Quindi la soluzione del problema di Cauchy è $y=-2e^((x^2)/3)+x^2+4$.

Ciao!

[freddofede]

Come si integra quell'affare???

[Sk_Anonymous]

Fai la sostituzione $x^2=-3t$
karl

[fireball1]

Oppure per parti, ma forse è più lungo...

[freddofede]

Per parti ho provato ma mi sa che non c'è verso... provo con la sostituzione. Grazie a tutti.

[freddofede]

Ma viene un valore complesso all'interno dell'integrale, sostituendo? Quello che mi preoccupa è quella x lì da sè...

[Sk_Anonymous]

Con la sostituzione trovi che l'integrale diventa:
$-2/3int x(1+x^2)(-3/(2x))e^tdt =int(1+x^2)e^t=int (1-3t)e^tdt=e^t-3(t-1)e^t=(4-3t)e^t=e^(-(x^2)/3)(4+x^2)$
Pertanto:
$y=e^((x^2)/3){-2/3intx(1 + x^2)e^(-(x^2)/3)dx + C}=e^((x^2)/3)[e^(-(x^2)/3)(4+x^2)+C]=Ce^((x^2)/3)+4+x^2$
Imponendo la condizione iniziale si ha poi C=-2
karl

[Camillo]

"lore":Ma viene un valore complesso all'interno dell'integrale, sostituendo? Quello che mi preoccupa è quella x lì da sè...

Ricorda che una volta posto :
$x^2 = -3t $ come suggerisce karl , differenziando ottieni :

$ 2x*dx = -3*dt $ e quindi $ x*dx = -3*dt/2$ ed anche :

$ x^3*dx = x*x^2*dx = (9/2)t*dt $ .

[freddofede]

Direi un'ottimo procedimento. Grazie ancora a entrambi, integrali di questo tipo ne abbiamo visti pochi e senza il suggerimento sarei rimasto a piedi